주의 : 공부하면서 정리한 것이므로 잘못된 내용이 포함될 수 있습니다.

주의 : 이상하면 참고자료를 참조하세요.

부탁 : 잘못된 점이 있으면 지적해 주시면 감사하겠습니다.

[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 책을 보다가 너무 설명이 부실( ?, 제가 이해력이 딸릴 수도 있습니다 )하다는 생각이 들어서 장력에 대해서 좀 깊이 파보기로 했습니다.

그런데 의외로 장력에 대해서 정리하는 글들은 거의 없더군요. 심지어는 외국 사이트들에서도 장력에 대해서 ( 초보적인 관점에서는 ) 그리 많이 다루고 있지 않았습니다.  너무 쉬워서 자료가 없는건지 너무 어려워서 없는건지 모르겠더군요.

어쨌든 저의 경우에는, 모르는게 있을 때, 그것에 대해 정리를 하다가 보면 무엇을 이해했고 무엇을 이해하지 못했는지 명확해지더군요. 그래서 정리를 해 보기로 했습니다. 이것이 다른 분들에게도 도움이 되었으면 좋겠네요.

장력의 정의

[ 위키피디아 ] 에서는 "장력"이라는 것을 다음과 같이 정의합니다.

물리학에서 장력(tension, 문화어: 켕김힘)은 끈, 체인, 막대 등 1차원적 1차원 연속체의 한 점에 걸리는 힘이다. 다른 말로, 질량을 길이의 함수로 보았을 때 길이에 대해 미분한 양이 된다. 질량이 없는 경우 장력은 모든 끈에 균일하다. 장력은 언제나 끈의 방향과 나란하다. 보통의 일반역학에서 대부분 장력을 계산할 때, 끈의 무게는 무시할만큼 작다고 가정한다.

원자수준에서 원자나 분자는 전자기적 인력을 갖는데, 원자나 전자를 잡아당겨 멀어지게 하면 전자기 퍼텐셜 에너지를 갖게되며, 이는 곧 장력을 만들어낸다. 장력은 줄이나 막대의 늘어난 길이를 복구시키기 위해 서로 붙어있는 물체를 잡아당기게 한다.

장력은 압축의 반댓말이다.

물리학에서 장력은 힘이 아니지만, 힘의 단위를 가지며 뉴턴으로 측정된다. 장력은 줄이나 물체의 끝부분에서 그 줄이나 막대에 연결되어있는 물체에 대해 연결부에서 줄의 방향으로 힘을 가한다. 줄에 연결된 물체의 계에서는 두가지의 기초적 가능성이 존재한다. 가속도가 0이여서 계가 평형상태에 있거나, 가속도가 있지만 계의 알짜힘은 일정한 경우이다. 

출처 : [ 위키피디아 ]

가장 핵심적인 부분은 원자나 분자가 서로 당기는 힘을 가지고 있다는 점입니다. 저는 퍼텐셜 에너지가 정확히 뭔지 아직 잘 모르고 있기 때문에 그냥 "위치를 보존하려는 힘" 정도로 이해하고 넘어 갔습니다. 이에 대해 열심히 정리한 블로그( 7. 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지, 보존력, 에너지 보존법칙 )가 있기는 한데, 현재 저의 수준에서는 외국어로 보여서 명확하게 의미를 이해하기 힘들더군요.

그래서 저는 장력을 다음과 같이 단순하게 정의해 봤습니다.

원자나 분자 수준에서 서로 당기는 힘이 존재하고 그 상태를 깨려고 했을 때 복원하려는 힘( 장력 )이 존재한다.

여기까지는 개념적으로 이해하기가 매우 쉽습니다; "아! 뭔가 용수철같은 복원력이 있구나."

하지만 실전 문제에 들어가게 되면 멘붕( 멘탈붕괴 )에 빠지게 됩니다.

줄의 장력?

다음과 같은 문제들을 볼 수가 있죠. [ 생각하며 배우는 대학물리학] 의 물음 4-6 에서는 다음과 같은 질문을 합니다.

밧줄의 장력 세기는 얼마인가?

출처 : [ 생각하며 배우는 대학물리학] 의 물음 4-6.

[ 사이언스올의 과학백과사전 ] 에서는 장력에 대해서 다음과 같이 설명하는 부분이 있습니다.

( 전략 ... ) 즉 실에 걸린 장력은 물체에 작용하는 힘의 크기와 같다.

출처 : [ 사이언스올의 과학백과사전 ].

문제들을 보시면 알겠지만 기본적으로 장력이라는 것이 마치 "줄 전체에 적용되고 있는 힘"이라는 것처럼 이야기하고 있습니다.

이는 장력의 개념을 매우 헷갈리게 만듭니다. 위키피디아에서의 장력의 정의를 다시 보죠.

물리학에서 장력(tension, 문화어: 켕김힘)은 끈, 체인, 막대 등 1차원적 1차원 연속체의 한 점에 걸리는 힘이다. 다른 말로, 질량을 길이의 함수로 보았을 때 길이에 대해 미분한 양이 된다. 

출처 : [ 위키피디아 ]

( 위키피디아의 정의가 맞다는 가정하에서 볼 때 ) 분명히 정의에서는 "한 점에 걸리는 힘"이라고 이야기하고 있는데, 실전에서 보는 문제들은 "줄 전체에 걸리는 힘"인 것처럼 이야기합니다. 이러한 상황은 저같은 ( 정의에 민감한 ) 초보들을 매우 혼란스럽게 만듭니다.

이 때문에 나름 물리에 대해서 잘 아는 친구인 "햄짱"에게 이에 대해 어떻게 생각하는지 물어 봤습니다. 

그랬더니 다음과 같은 요지로 답변하더군요.

줄에 작용하는 장력이라는 것은 없다. 줄의 한 점에 작용하는 장력이 있을 뿐이다. 줄의 장력이라는 말 자체가 이상하다.

출처 : 햄짱.

그래서 또 다른 질문을 해 봤습니다. 

검색을 해 보면 일반적으로 "줄이 팽팽해졌을 때 작용하는 힘"이라고 이야기하던데, 그럼 팽팽하지 않을 때는 장력이 없는 것인가?

이에 대해서 다음과 같은 요지로 답변하더군요.

줄이 팽팽하지 않아도 장력은 존재한다. 줄을 잡아 당길 때 양쪽 끝이 완전히 팽팽해지지 않더라도, 자신이 잡아당기고 있는 부위를 다른 부위가 따라오기 때문에 이것은 장력의 증거이다. 장력이 없으면 따라 오지 않을 것이다.

출처 : 햄짱.

저는 이러한 답변이 이해가 안 가서 친구와 많은 이야기를 나눴습니다. 그리고 나서 어느 정도 개념 정리가 되었고, 제가 이해한 만큼 정리를 해 보기로 했습니다.

1 차원 연속체에서의 장력

줄이라는 것은 원자나 분자 수준에서 봤을 때 연속체의 집합입니다. 꼬였거나 이런 게 없이 그냥 등간격으로 연결되어 있다고 가정을 해 봅시다.

그림 1. 분자의 연속체로서의 줄.

한쪽에서 당길 때

그런데 이 줄을 제가 오른쪽에서 F 라는 힘으로 잡아 당겼다고 하죠. 만약 분자간에 서로 당기는 힘이 존재하지 않는다면, 그림 2 와 같은 상황이 벌어질 겁니다.

그림 2. 장력이 없을 때 끊어지는 줄.

하지만 실제로는 분자 사이에 당기는 복원력이 존재하고 있기 때문에 분자의 상대적 위치가 보존되어야 합니다. 그러려면 각 분자 사이에서 얼마만큼의 힘이 가해져야 할까요?

줄의 전체질량을 M 이라고 하고 하면 F = Ma 가 성립합니다. 그런데 각 분자가 장력에 의해서 서로 끌어당겨서 상대적인 위치를 보존한다고 하면, 결과적으로 모든 분자는 동일한 가속도로 운동하고 있어야 합니다. 분자의 개수를 n 이라고 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.

식 1.

생각을 좀 단순하게 하기 위해서 분자들간에 가상의 줄이 연결되어 있다고 합시다. 그 가상의 줄은 질량이 없습니다. 그냥 거기에 힘이 작용한다는 것을 설명하기 위해서 넣은 가상의 줄이므로 분자 사이의 공간에 적용되는 힘이라고 보셔도 됩니다.

그림 3. 한쪽으로 당기는 힘.

그러면 T₀ 에서는 전체 분자를 끌고 와야 합니다. 전체 분자에 적용되므로 T₀ = mna = Ma = F 입니다.

그리고 T₁ 에서는 n - 1 개의 분자를 끌고 와야 합니다. 그러므로  T₁ = m( n - 1 )a 입니다.

이런 식으로 했을 때, 마지막 T_n 에서는 1 개의 분자를 끌고 와야 하므로 T_n = ma 입니다.

양쪽에서 당길 때

이제는 양쪽에서 이 분자로 구성된 줄을 끌고 있는데, 양쪽 다 F 라는 힘으로 끌고 있다고 해 보죠.

그림 4. 양쪽으로 동일하게 당기는 힘.

자 여기에서 힘의 합력은 0 입니다. F 가 반대 방향으로 작용하죠. 그러면 가속도 a = 0 입니다.

그러면 장력이 0 인 걸까요?

분명히 용수철을 양쪽에서 동일한 힘으로 당기면 용수철은 늘어납니다. 장력이 있다는 소리죠. 이건 어떻게 된걸까요?

[ 위키피디아 ] 의 내용을 더 살펴 봅시다.

장력은 음의 값이 아닌 스칼라양이다. 장력이 없다면 늘어진 상태인 것이다.

출처 : [ 위키피디아 ].

장력에는 방향이 없다는 이야기입니다. 어떤 힘에 대한 반작용으로서 발생하는 힘( ? )입니다.

물리학에서 장력은 힘이 아니지만, 힘의 단위를 가지며 뉴턴으로 측정된다.

출처 : [ 위키피디아 ].

그러므로 작용하는 힘에 대한 반작용으로서의 장력들이 모두 합쳐져야 합니다. 그림 5 와 같은 형태로 적용됩니다( 위키피디아의 설명으로부터 개념을 이해하기까지 참으로 많은 고민을 했습니다. OTL ).

그림 5. 장력의 합력.

결국 각 분자 사이에서는 동일한 장력이 발생합니다.

이를 [ 위키피디아 ] 에서는 "평형상태의 계" 라 설명하고 있습니다.

모든 힘의 합이 0 일 때, 계는 평형상태에 있다.

예를 들어, 계 내에 수직한 방향으로 등속으로 낙하하는 물체에 장력 T의 실이 걸려있다고 생각해보자. 계는 일정한 속도를 가지며, 물체를 위로 잡아당기는 장력의 크기와 아래로 잡아당기는 중력의 크기가 같으므로 평형상태에 있다고 할 수 있다.

출처 : [ 위키피디아 ].

만약 한쪽으로만 당기거나 어느 한 쪽에서 당기는 힘이 더 크다면 "알짜힘이 존재하는 계" 라 설명하고 있습니다.

가해진 힘이 균형을 이루지 못해 계 내에 알짜힘이 존재할 경우, 힘의 합력은 0이 아니다. 알짜힘과 가속도는 함께 존재한다.

예를 들어, 위의 상황과 같지만 물체가 양(+)의 가속도를 가지며 아래방향으로 속도가 점점 증가한다고 가정해 보자. 이 상황에서 물체에는 알짜힘이 가해지며, 다음과 같다.

출처 : [ 위키피디아 ].

[ 위키피디아 ] 에서는 천장에 고정된 끈에 매달린 공이 있을 때, 거기에 작용하는 힘들을 도식화하고 있는데, 각 지점에서의 장력에 대해 복합적으로 고민해 볼 수 있는 단초가 됩니다( 그림 6 ). 

그림 6. 작용과 반작용. 출처 : [ 위키피디아 ].

줄이 천장에 매달려 있을 때, 천장과 붙은 부분에서는 수직항력에 대한 장력이 발생하고 공에 붙은 부분에서는 중력에 대한 장력이 발생합니다. 줄 중간에서는 수직항력과 중력에 대한 장력이 발생합니다.

3 차원 연속체에서의 장력

3 차원에서는 면적이 생기는데요, 일반적으로는 단면적에 대한 축방향력을 장력으로 사용한다고 합니다. 여러 다발의 1 차원 줄이 있다고 생각해 보죠.

그림 7. 여러 개의 1 차원 줄이 모여 형성한 3 차원 줄.

그런데 이를 구하기는 너무 어려워서 일반적으로 단면적을 기준으로 하는 변형력이라는 개념을 사용한다고 합니다.

막대나 트러스같은 3차원 연속체의 끝부분에서 가해지는 힘을 표현할때도 장력을 이용한다. 막대를 늘리거나 할때 이를 이용한다. 힘 또는 단위 단면적당 힘에대해 늘어난 정도를 계산할 경우 잘 안될 것이므로, 공학을 목적으로는 장력보다는 변형력 = 축방향력/단면적 으로 계산하는 것이 더 나을 것이다. 변형력은 텐서의 3x3행렬이며, 변형력 텐서의 성분 σ₁₁ 은 단위면적당 인장력이다(또는 단위면적당 압축력인데, 막대가 늘어나는 경우가 아닌 압축되는 경우에는 이 성분을 이용해서 음수를 나타낸다).

출처 : [ 위키피디아 ].

최대 인장 강도

장력은 주어진 힘에 대한 반작용으로 발생합니다. 주어진 힘에 의해서 원자나 분자가 당겨질 때, 위치를 복원하려고 발생하는 반작용 힘입니다. 

그래서 힘이 세질수록 장력도 세지는데요, 어느 한계에 도달하면 복원하려는 힘( 장력 )보다 당기는 힘이 더 세지게 됩니다. 이렇게 되면 원자나 분자의 결합이 떨어지게 됩니다.

절벽에서 어떤 사람이 내 손을 잡고 매달려 있는데, 처음에는 손바닥을 잡다가, 점점 미끄러져 손끝으로만 버티다가, 완전히 손에 떨어지는 것을 생각해 볼 수 있겠죠( 너무 비유가 살벌한가요... )

장력으로 버틸 수 있는 최대 힘을 최대 인장 강도라 부릅니다. 이것도 3 차원이라서 단면적을 기준으로 하더군요.

인장 강도(tensile strength, TS) 또는 극한 강도(ultimate strength)라고 하는 극한 인장 강도(Ultimate tensile strength, UTS)는 재료의 세기를 나타내는 힘으로, 재료가 절단되도록 끌어당겼을 때 견뎌내는 최대 하중을 재료의 단면적으로 나눈 값을 말한다. 인장 강도는 장력 강도라고 하기도 한다.

출처 : [ 극한 인장 강도 ].

그러나 실전 문제에서는 ...

일반적으로 연결된 물체의 장력을 계산할 때는 어떤 물체에 전달되는 힘을 뺀 나머지 힘을 장력이라고 설명합니다. 예를 들어 [ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 이라는 책에서는 연결된 물체 사이의 질량이 0 인 끈에 작용하는 장력을 다음과 같이 계산합니다.

그림 8. [ 생각하면서 배우는 대학물리학 ] 에서의 연결된 물체의 장력.

이것만 보면 "장력 = 힘 - 특정 물체까지 작용한 힘" 이라고 단순하게 생각하게 됩니다. 하지만 다음과 같은 상황들을 만나게 되죠. 

• 두 물체에 작용하는 마찰계수가 다르다면?
• 두 물체가 도르레에 의해서 연결되어 있고 마찰력이 존재한다면?
• 두 물체가 한쪽에서 끌어당기는 것이 아니라 막대로 연결되어 있고, 중력에 의해서 스스로 운동하고 있는 상황인데, 마찰계수도 서로 다르다면?
• N 개의 물체가 각각 끈에 의해서 연결되어 있고, 위와 같은 복잡한 상황이라면?

[ 생각하면서 배우는 대학물리학 ] 에서는 연습문제를 통해 이런 상황들에 대해서 다루게 됩니다. 이런 문제들을 접했을 때 앞의 관점( 제가 처음 이해한 관점 )에서 문제를 풀면 반드시 오답이 나옵니다. 제가 푼 연습 문제들 중에서 장력 문제들은 거의 다 오답이었습니다. 글을 쓰는 현재도 열심히 수정하는 중이죠. 여기에서 책의 설명이 잘못되어 있다고 이야기하고 있는 것은 아닙니다. 이 설명을 잘못 받아들이면 문제를 제대로 풀수가 없다는 것을 이야기하고자 합니다.

이러한 문제가 발생하는 것은 "힘" 이라는 것을 다르게 이해하고 있기 때문입니다. 이 때문에 물잘알 친구 햄과 엄청난 시간의 토론을 해야만 했습니다. 제가 잘못된 전제에서 접근을 하고 있었기 때문에 도저히 대화가 통하지 않았던 것이죠.

정리하자면 "특정 물체의 알짜힘" 으로부터 장력을 구해야 합니다. 이 문서를 읽고 있는 분들이 알짜힘의 의미에 대해서는 이해하고 있다고 간주하겠습니다.

그림 8 의 경우를 보죠. 이를 제대로 이해하기 위해서는 특정 물체의 알짜힘의 관점에서만 생각해야만 합니다.

그림 9. 특정 물체를 알짜힘을 중심으로 본 장력과 힘의 관계.

그림 8 에서는 물체들을 끈으로 당기고 있고 마찰력이 없으므로 물체에 F₀ 와 T 만이 작용하고 있습니다. 물론 T 는 우리가 모르는 가상(?)의 장력입니다. 양쪽에서 뭔가 잡아 당기고 있으니 그것의 합력으로부터 알짜힘을 구하게 된 것이죠. 그래서 아래와 같은 식이 성립합니다.

식 2.

결국 그림 8 에 나온 식인 (4.10) 과 다를 건 없습니다. 하지만 다른 조건이 들어 가기 시작하면 결과가 달라집니다. 예를 들어 두 물체가 다 굴러 가고 있다고 하죠. 그리고 두 물체의 가속도 및 속도가 같습니다. 끈 대신 막대가 있죠. 이 때 장력은 얼마일까요?

그림 10. 막대에 의해 이어져 있고 같은 속도로 운동하는 두 물체.

이제 처음에 오해했던 대로 식을 한 번 써 볼까요?

식 3.

답이 나오기는 했지만 뭔가 찝찝합니다. 왜냐하면 두 물체가 같은 속도로 스스로 움직이고 있을 때 중간에 끼어 있는 막대에 뭔가 힘이 가해지지 않을 것이라는 것을 직감적으로 이해하고 있기 때문입니다. 그냥 중간에 끼어 있는 것 뿐이지 첫 번째 물체가 두 번째 물체를 잡아 당기는 느낌이 아니라는 것을 알고 있는 것이죠.

여기에서 간과하고 있는 것은 두 물체가 스스로 움직이고 있다는 점입니다. 즉 스스로 가속하는 힘이 존재하고 있는 것이고 이것을 F₀ 로 당기고 있다는 식으로 접근하면 안 되는 것이죠. 스스로 가속하는 힘을 T( Translation ) 라는 아래첨자로 표현하면 각각은 다음과 같이 표현됩니다.

그림 11. 올바로 해석한 알짜힘.

그러면 실제 알짜힘은 다음과 같습니다.

식 4.

마찰력이 없다고 가정하고 있으므로 그건 다음과 같겠죠.

식 5.

그리고 문제에서 F_T2 가 다음과 같이 주어졌다고 가정하겠습니다.

식 6.

식 5 와 식 6 에 의해 장력은 다음과 같이 구해집니다.

식 7.

장력이라는 것은 이렇게 상황에 맞는 알짜힘을 통해서 구해야 합니다.

장력이라는 것이 실제로 작용하는 힘들에 대한 분석을 통해서 구하는 것이기 때문에 어렵습니다. 저도 아직 장력 관련 문제를 풀 때마다 헤매는데요, 다양한 상황에 대한 문제들을 접해 보고 힘의 합성과 분해에 대해 더 깊이 이해하면 익숙해지리라 생각합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

다음 물음들에 답하여라.

( a ) 밧줄의 장력 세기는 얼마인가?

( b ) 밧줄의 질량이 m₀ 로 무시할 수 없는 크기라면, 물체들의 가속도는 얼마인가?

( c ) 정확히 중간지점에서 밧줄의 장력 세기는 얼마인가? HINT : 밧줄을 두 개로 잘랐다고 가정하고, 두 개로 잘린 밧줄을 각각 다른 물체로 취급한다.

( d ) 질량이 M 인 물체를 질량이 m 인 밧줄에 연결하여 끌려고 한다. 밧줄을 끄는 힘의 세기를 F₀ 라 할 때, 물체에 연결된 밧줄 부분의 장력, 즉 물체에 작용하는 힘의 세기는 얼마인가?

문제는 다음과 같이 연결된 두 물체를 질량이 무시되는 밧줄로 연결해 일정한 힘 F₀ 로 끌고 가는 상황에 대해서 가정하고 있습니다( 책의 그림 4-7 ). T 는 두 물체간에 작용하는 장력입니다.

그리고 문제를 내기 바로 직전에 m₂ 를 질량이 없는 밧줄로 취급한다면 F₀ = T 라는 것 까지 이야기한 상황입니다.

( a )

두 물체를 연결하는 밧줄의 장력을 T 라 하고 밧줄의 질량이 없다면, T = m₁a 입니다.

( b )

밧줄의 질량이 m₀ 라고 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.

여기에서 줄의 왼쪽 끝에 작용하는 장력은 m₁a 이며, 줄의 오른쪽 끝에 작용하는 장력은 ( m₀ + m₁ )a 입니다.

( c )

밧줄이 중간으로 잘리면 왼쪽 밧줄의 질량은 m₀/2 이고 오른쪽 밧줄의 질량은 m₀/2 입니다. 그러므로 중간에 작용하는 장력은 ( m₀/2 + m₁ )a  입니다.

( d )

밧줄의 왼쪽 끝에서는 관성에 의해서 Ma 만큼의 반작용이 발생합니다. 그러므로 T = Ma 입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

지표면 위치에서 수직 방향으로 초속도 v₀ 로 던진 공이 있다.

( a ) 이 공이 최고 위치에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하라. HINT : 속도가 0 이 되기까지의 시간이다.

( b ) 최고점 도달 높이를 구하라. HINT : 속도가 0 이 되는 시각의 높이이다.

( c ) 지표면에 다시 도달하는 시간을 구하라. HINT : 위치가 다시 0 이 되는 조건이다.

일단 속도와 위치를 구하는 함수를 만들어 보겠습니다.

초기 속도를 + 방향이라 하면 중력 가속도는 - 방향으로 작용합니다. 그러므로 F = -mg 가 중력입니다.

시간 t 에 중력방향으로 작용하는 속도는 gt 이므로 시간 x 일 때의 속도 함수 V(x) 는 다음과 같습니다.

[ 0, t ] 구간에서 이 속도함수를 정적분하면 위치 함수가 R(x) 가 됩니다.

( a )

공이 최고 위치에 도달하려면 속도가 0 이 되어야 합니다. 

속도가 0 이 된다는 것은 V(x) = 0 를 의미하므로, v₀ = gx 여야 합니다.

즉 x = v₀/g 에 속도가 0 이 됩니다.

( b )

최고점에 도달하는 높이는 속도가 0 이 되는 높이이므로, ( a ) 의 결과를 R(x) 에 대입하면 됩니다.

최고점에 도달하는 높이는 (v₀)²/2g 입니다.

( c )

바닥에 떨어지는 시간은 위치가 0 이 되었을 때입니다. R(x) = 0 인 x 를 구하면 됩니다.

x = 0 은 공을 던진 시간이므로 땅에 떨어진 시간은 x = 2v₀/g 일 때입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

가속되지 않고 단지 등속도로 끌려 올라가는 방이 있을 때, 이 방을 가로지르는 빛의 경로를 그려라. 빛의 경로는 기울어진 직선 모양인가? 곡선 모양인가?

등속도로 끌려 올라가면, 빛은 직진하는데 방이라는 계자체가 움직이고 있기 때문에, 빛은 상대적으로 아래로 기울어지는 것처럼 보입니다.

이 때 등속도이므로 직선운동을 합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

질량이 60 kg 인 사람이 받는 무게, 즉 중력의 세기는 얼마인가?

F = ma 로부터 중력의 세기 F = mg 로 나타낼 수 있습니다. 지표면 근처에서 중력가속도 g = 9.8m/s² 이므로,

입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

더 작은 힘의 크기 단위인 다인^dyne 은 1dyne = 1g*cm/s² 으로 정의한다. 1N 은 몇 다인에 해당되는가?

주의 : 초심자 튜토리얼은 아닙니다. 그러므로, 실제 API 호출 용례를 알고자 한다면, 샘플이나 튜토리얼을 찾아서 확인해 보세요.

주의 : 완전히 이해하고 작성한 글이 아니므로 잘못된 내용이 포함되어 있을 수 있습니다.

주의 : 이상하면 참고자료를 확인하세요.

저수준 API?

Direct3D 11 과 같은 API 에서는 ID3D11DeviceContext::OMSetDepthStencilState() 와 같이 특정 상태를 설정하는 메서드들을 볼 수 있습니다. 

void OMSetDepthStencilState( ID3D11DepthStencilState *pDepthStencilState, UINT StencilRef );

이 상태를 변경하고자 한다면 한 프레임 내부에서 아무때나 호출하는 것이 가능합니다. 그렇기 때문에 상태를 반복적으로 불필요하게 설정하기 위한 비교 루틴들을 넣고는 했습니다.

하지만 벌칸에서는 이러한 상태들이 하나의 오브젝트( VkPipeline )에 캡슐화됩니다. 그렇기 때문에 아무 곳에서나 상태를 변경하는 것은 불가능하고 반드시 하나의 세트로서 상태가 설정되어야만 합니다.

언뜻 보면 이것은 매우 불편합니다. 왜냐하면 저수준 API 라고 했음에도 불구하고 아무 곳에서나 원하는 작업을 하는게 불가능하기 때문입니다. 벌칸에서의 "저수준 API" 의 의미는 이전 API 들보다 저수준에 대한 제어를 할 수 있다는 의미이지, 아무 곳에서나 마음대로 함수를 호출할 수 있다는 의미는 아닙니다.

그런데 이렇게 하는 이유는 무엇일까요?

그 이유는 렌더 패스( RenderPass )와 그것의 역할을 이해하면 명확해집니다. 제가 처음에 Vulkan 을 접하면서 가장 이해하기 어려웠던 것이 렌더패스였습니다. 개념과 필요성 자체를 이해할 수 없었죠. 그래서 이 문서에서는 렌더패스에 대해서 다뤄 보고자 합니다. 

여기에서는 구구절절 코드를 풀어서 설명하기보다는 개념적인 부분을 중심으로 이야기하도록 하겠습니다.

개체 중심 API?

벌칸은 파이프라인 형태로 기능을 설계하기 매우 좋은 API 입니다. 왜냐하면 파이프라인의 특정 단계들이 오브젝트로 캡슐화되어 있기 때문입니다. 이것이 벌칸을 처음 사용하게 되는 기존의 OpenGL 이나 D3D 사용자들에게 많은 혼선을 주는 것 같습니다.

예전의 그래픽스 API 들이 절차적 프로그래밍 형식이었다면 이제는 개체지향 프로그래밍 형식으로 넘어 갔습니다. 물론 예전에도 C++ 코드 단에서는 나름대로 클래스를 만들어서 기능들을 캡슐화해서 사용하곤 했지만, 이제는 라이브러리 내부에서 그런 캡슐화를 수행하고 있습니다.

여기에서 혼선이 옵니다. 분명히 벌칸은 C ABI( Application Binary Interface ) 를 사용해서 구현되어 있는데, 뜬금없이 개체지향을 언급하다니 이상하지 않나요?

물론 제가 기억하기로는 명세에서도 개체지향이라는 표현은 사용하지 않습니다. 여기에서 제가 개체지향이라는 것은 언어적 특징을 이야기하는 것이 아닙니다. 기능들이 개체를 중심으로 구현되어 있다는 의미입니다. 우리가 접하는 API 는 일종의 마샬링( Marshaling ) API 이고 실제 내부 구현은 개체지향적으로 구현되어 있다고 생각하는 게 벌칸 API 를 이해하는 데 도움이 됩니다.

벌칸 API 의 함수들을 몇 개 살펴 보겠습니다.

vkGetPhysicalDeviceFormatProperties( physicalDevice, format, pFormatProperties); vkCreateBuffer(device, &bufferCreateInfo, nullptr, &stagingBuffer) vkCmdCopyBufferToImage( copyCmd, stagingBuffer, texture.image, VK_IMAGE_LAYOUT_TRANSFER_DST_OPTIMAL, static_cast<uint32_t>(bufferCopyRegions.size()), bufferCopyRegions.data());

vkXXX() 함수를 호출할 때는 반드시 작업의 주체가 되는 벌칸 오브젝트를 첫 번째 파라미터로 넣습니다. 그러면 각각은 다음과 같은 명령을 내립니다.

• VkPhysicalDevice 오브젝트야! 포맷 속성들 좀 정리해서 알려 줘.
• VkDevice 오브젝트야! 버퍼 하나 생성해 줘.
• VkCommandBuffer 오브젝트야! 버퍼를 이미지에 복사하는 명령을 추가해 줘.

그렇기에 "Vulkan.hpp" 와 같은 래퍼 클래스를 만드는 것이 용이합니다.

뭐 다른 API 들도 이 정도는 하는 것 아니냐는 반론을 할 수 있습니다. 하지만 저는 이렇게 무리한 주장을 해 봅니다. 왜냐하면 앞에서 언급했듯이 개체를 중심으로 이해해야 벌칸 API 를 이해하기 편하기 때문입니다.

렌더패스

"렌더패스" 라 하면, 일반적으로 프레임 그래프나 렌더 그래프라는 것이 생각날 겁니다. 

간단하게 예를 들면, "Depth" --> "G-Buffer" --> "Shadow-Depth" --> "Lighting-Accumulation" --> "Translucency" 으로 이어지는 deferred-lighting 기법을 이런 그래프로 표현할 수 있습니다. 사실 포스트 프로세스를 고려하면 좀 더 복잡하게 그려야 하는데 그냥 대충 뭉뚱그립니다. 그냥 "Lighting-Accumulation" 에는 "Shadow-Applying" 까지 포함되어 있다고 생각해 주세요. 그림이 옆으로 길어져서 귀찮아서 뭉뚱그렸습니다.

그림 1.

각 단계별로 사용하는 어태치먼트( Attachment )들이 다르며 그 어태치먼들 간에는 종속성이 발생합니다. 일단 어태치먼트는 실제 리소스에 대한 기술( description )이라 생각하시면 됩니다. 뒤에서 좀 더 설명하겠습니다.

그림 2.

각 단계를 렌더 패스라고 볼 수 있으며, 이것이 사용하는 어태치먼트들 간의 종속성에 의해 렌더패스의 종속성이 발생합니다. 물론 서브패스( Sub-Pass )라는 것도 존재하기는 하지만 여기에서는 구체적인 언급을 피하겠습니다. 좀 설명이 복잡해집니다. 일단은 그냥 렌더패스 당 한 개의 서브패스가 존재한다고 생각하시면 됩니다.

그런데 어태치먼트들을 지정할 때 규칙을 지정합니다. 포맷이 뭔지, 어떤 용도로 사용되는지, 안티에일리어싱을 위한 샘플 카운트는 몇 개인지, 클리어는 하는지, 로드할 때 기존 데이터를 유지해야 하는지, 세이브를 할 필요가 있는지, 레이아웃이 뭔지 등등을 지정합니다. 이를 어태치먼트 디스크립션( VkAttachmentDescription )이라 합니다.

VkAttachmentDescription vkDesc = {}; vkDesc.format = AttachmentInfo.VkFormat; vkDesc.samples = AttachmentInfo.VkSampleCountFlagBits; vkDesc.loadOp = bClearingPass ? VK_ATTACHMENT_LOAD_OP_CLEAR : VK_ATTACHMENT_LOAD_OP_DONT_CARE; vkDesc.storeOp = bWritingPass ? VK_ATTACHMENT_STORE_OP_STORE : VK_ATTACHMENT_STORE_OP_DONT_CARE; if( AttachmentType::DepthStencil == attachmentType ) { vkDesc.stencilLoadOp = vkDesc.loadOp; vkDesc.stencilStoreOp = vkDesc.storeOp; } else { vkDesc.stencilLoadOp = VK_ATTACHMENT_LOAD_OP_DONT_CARE; vkDesc.stencilStoreOp = VK_ATTACHMENT_STORE_OP_DONT_CARE; } vkDesc.initialLayout = initialLayout; vkDesc.finalLayout = finalLayout;

엄청 복잡합니다. 

이 렌더패스 오브젝트는 일종의 템플릿으로서 존재합니다. 실제로 인스턴스화되는 것은 VkCmdBeginRenderPass() 가 호출될 때죠. 이 함수가 호출될 때 각 어태치먼트와 관련된 리소스들을 VkFrameBuffer 라는 오브젝트로 바인딩합니다.

VkRenderPassBeginInfo vkBeginInfo = {}; vkBeginInfo.sType = VK_STRUCTURE_TYPE_RENDER_PASS_BEGIN_INFO; vkBeginInfo.renderPass = _VkRenderPass; // set renderpass vkBeginInfo.framebuffer = vkFrameBuffer; // set framebuffer vkBeginInfo.renderArea = vkRenderArea; vkBeginInfo.clearValueCount = ( uint32_t )vkClearValues.size(); vkBeginInfo.pClearValues = vkClearValues.data(); vkCmdBeginRenderPass( vkCommandBuffer, &vkBeginInfo, VK_SUBPASS_CONTENTS_INLINE ); { // fill commands } vkCmdEndRenderPass( vkCommandBuffer );

렌더패스 커맨드를 시작하고 종료하기 위해서는 기본적으로 세 가지 오브젝트가 필요하다는 것을 알 수 있습니다.

• 렌더패스( VkRenderPass ) 오브젝트.
• 프레임버퍼( VkFrameBuffer ) 오브젝트.
• 커맨드버퍼( VkCommandBuffer ) 오브젝트.

아까도 언급했지만 엄청 복잡합니다. 왜 이렇게까지 해야 하는 걸까요? 그리고 이것의 장점은 무엇일까요?

No-Validation & No-Exception

렌더패스를 하나 만들면 VkCmdBeginRenderPass() 호출을 통해서 실제 렌더패스 인스턴스가 ( 내부적으로 ) 생성됩니다. 그리고 렌더패스의 어태치먼트에 대응해서 실제 리소스인 프레임버퍼가 바인딩됩니다.

꼭 렌더패스의 경우가 아니더라도 벌칸에서 이러한 Description-Instance 쌍을 띠고 있는 경우는 많습니다. 예를 들면 VkDescriptorSetLayout 같은게 있습니다.

이런 디스크립터들이 존재하는 이유는 벌칸이 실제 리소스의 메모리구조를 알고 있지 못하기 때문입니다. 텍스쳐를 만들면서 메모리가 2D 라고 가정했다고 합시다. 그런데 이 텍스쳐의 메모리를 채울 때 row-major 로 채울수도 있고 column-major 로 채울수도 있습니다. 그리고 한 픽셀의 크기도 다를 수 있습니다.

그러므로 벌칸에 실제 메모리가 어떤 식으로 구성되어 있는지 알려줄 필요가 있습니다. 그래서 대부분이 Descriptor-Instance 쌍으로 구성됩니다.

이게 어떤 이점을 가질까요?

이렇게 하면 개체를 생성하는 시점에서 validation 을 수행할 수 있습니다. 개체를 바인딩해서 처리하는 API 내부에서 validation 루틴 및 예외처리 루틴을 처리할 필요가 없어진다는 의미입니다. 그렇기 때문에 성능상 이점을 획득할 수 있다는 장점과 문제의 근원을 초반에 파악할 수 있다는 장점이 있습니다.

예를 들어 VkFrameBuffer 생성 함수를 살펴 보죠.

VkFramebufferCreateInfo 에 RenderPass 를 넣는 것을 볼 수 있습니다. 만약 프레임버퍼를 생성하는 데 렌더패스에서 기술한 조건들과 맞지 않았다면, 생성하면서 바로 에러가 나는거죠. 어떤 에러가 발생했는지 알고자 한다면, "Debug Layer" 를 켜면 됩니다.

Dependency Management

그림 1 에서 "Shadow-Depth" 패스는 "Depth" 패스와 "G-Buffer" 패스에 대해 비동기적으로 실행될 수 있습니다. 하지만 "Lighting-Accumulation" 패스 전에는 동기화되어야 합니다.

VkCommandBuffer 들은 동기화 개체를 통해서 서로에 대한 의존성을 지정할 수 있습니다. 만약 그러므로 렌더패스는 구조만 기술하고 렌더패스 인스턴스를 생성하면서 커맨드버퍼를 같이 넘기면 렌더패스끼리의 의존성을 지정할 수 있는 겁니다.

이 경우에는 "Shadow-Depth" 패스를 다른 스레드에서 실행한다고 해도 순서에 문제가 발생하지 않겠죠.

Life-Cylcle Management

요즘에는 보통 게임 스레드와 렌더링 스레드를 분리하는 구현을 합니다. 심지어는 렌더링 스레드와 RHI( Rendering-Hardware-Interface ) 스레드를 분리하기도 하죠.

이렇게 되면 리소스 오브젝트의 무결성에 문제가 생깁니다. 예를 들어 일반적으로 스왑체인( swap-chain )은 여러 개의 백퍼버( Swapchain-Image )를 가질 수 있습니다. 최소한 2 개 정도의 백버퍼를 사용하고 있습니다.

만약 여러 개의 백버퍼를 가지고 있다고 가정하고( 게임스레드와 렌더링스레드를 프레임-동기화하지 않는다는 의미 ), 게임 스레드와 렌더링 스레드를 분리했을 때 다음과 같은 형태로 업데이트가 될 겁니다. 각 프레임마다 처리시간이 가변적이라고 가정했습니다.

첫 번째 프레임을 보죠. 붉은색 게임 프레임이 종료되고 주황색 게임 프레임이 시작될 때 렌더링 스레드에서는 여전히 붉은색 프레임을 실행하고 있습니다. 이 때 렌더패스가 템플릿( 혹은 디스크립션 )이 아닌 인스턴스라고 하면 바로 문제가 발생합니다. 주황색 게임 프레임에서는 사용중인 렌더패스, 커맨드버퍼, 프레임버퍼 등을 변경하도록 요청하겠죠.

그러므로 렌더패스 인스턴스 단위로 커맨드와 프레임버퍼를 바인딩하는 것은 생명주기를 관리하는데 큰 도움을 줍니다.

그래서 보통 프레임버퍼를 스왑체인 이미지의 개수만큼만큼 풀( pool )로 만들어서 관리하게 됩니다. 물론 메모리 문제는 발생하겠지만 무결성이 깨지는 상황은 막을 수 있습니다. 메모리가 걱정된다면 프레임-동기화를 하면 됩니다.

결론

벌칸은 C 로 구현되어 있기는 하지만, 개체 중심으로 구조화되어 있고 추상화되어 있습니다. 대부분이 Descrption-Instance 쌍으로 되어 있으며, 그 중 하나가 렌더패스입니다.

렌더패스는 어태치먼트들을 정의하며, 실제로 이것이 인스턴스화 되는 것은 VkBeginRenderPass() 입니다. 이때 렌더패스, 프레임버퍼, 커맨드버퍼가 필요합니다. 

프레임버퍼는 어태치먼트가 지정하는 실제 리소스 인스턴스입니다. 커맨드버퍼는 렌더패스간 의존성을 제어하는데 사용됩니다.

렌더패스 오브젝트를 실제 인스턴스와 분리함으로써 세 가지 이점을 가질 수 있습니다.

• API 내부의 에러 처리 루틴이 필요하지 않아 성능이 개선됩니다.
• 커맨드 버퍼를 통해 렌더패스간 의존성을 관리할 수 있습니다.
• 멀티스레딩 환경에서 렌더패스 인스턴스, 커맨드 버퍼, 프레임 버퍼 등의 생명주기를 관리하는데 용이합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

두 위치의 시계가 같은 시각을 나타내는지 확인하는 방법은 무엇인가? 예컨데, 서울과 부산의 시계를 맞추려면 어떻게 하면 될까?

지구는 둥글고 자전하기 때문에 고위도와 저위도의 순간속도에는 차이가 발생합니다. 일단 자전축을 중심으로 회전하니 방향은 동일하다고 가정합니다.

이걸 자전축을 중심으로 슬라이스를 만들어 봅시다. 단위 시간에 θ 만큼의 각도를 회전한다고 가정하면, 시간 t 동안 회전한 거리는 tθr 와 tθR 이 됩니다( θ 는 라디안 [radian] 단위입니다 ). 즉 서울의 자전속도 V_S = θr 이고 부산의 자전속도 V_P = θR 이라는 이야기입니다.

이제 서울과 부산에서 빛의 반사 실험을 한다고 가정해 봅시다. 고유시간을 T₀ 라고 할때 특수상대성 이론에 의한 시간은 다음과 같이 정의됩니다.

식 1.

우리는 서울과 부산이 자전하는 속도를 알고 있으므로 식 1 에 대입할 수 있습니다. 서울의 시간늘어남은 T_S 이고 부산의 시간 늘어남은 T_P 입니다.

식 2.

서울에서는 T_S 비율로 부산에서 T_P 비율로 시간이 흐르도록 제작된 시계를 사용하면 동일한 시간이 흐르게 됩니다.

그런데 시계는 그렇게 제작되기가 어렵습니다. 그래서 "두 위치의 시계를 어떻게 해야 맞출 수 있느냐"는 질문을 하는 거겠죠. 어차피 어디 답이 있는 것도 아니니 마음대로 해석하겠습니다.

같은 위치에 있는 공장에서 만들어진 시계가 특정 시간에 동기화되어 서울과 부산으로 이송되었다고 합시다. 그리고 t 만큼의 시간이 지났다고 가정해 봅시다. 

그러면 서울을 기준으로 했을 때 부산의 시계는 ( T_P / T_S ) * t 만큼의 시간이 될 때 시간을 t 로 맞춰야 합니다.

예를 들어 서울에서 12 시에 시간을 맞추자고 연락을 하면 부산에서는  ( T_P / T_S ) * 12 시가 되었을 때 12 시로 맞추면 됩니다.

그런데 두 시계가 다른 위치에서 제조되어 동기화된적도 없다고 하면 다음과 같은 과정을 거쳐야 합니다.

• 먼저 특정 시점에 시간을 맞춥니다.
• t 시간이 지난 후에 위의 식에 맞게 시간을 맞춥니다.

아는 분에게 이 답이 맞는 것 같냐고 질문을 하니 "특수상대성 이론 하에서의 논리라면 맞는 것 같은데, 회전이므로 가속도가 있는 운동이니 일반 상대성 이론이 적용되는 것이 맞지 않냐" 는 요지의 답변을 들었습니다.

특수 상대성 이론과 관련한 챕터라서 문제가 이상한 건지 제가 잘 이해를 못한 건지 헷갈리네요...

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

비행기가 V₀ 의 일정한 빠르기로 동쪽 방향으로 날아간다. 바람이 남쪽에서 북쪽으로 v₀ 의 빠르기로 분다면, 비행기 기수는 동쪽에서 몇 도만큼 남쪽으로 향해야 하는가?

항상 느끼는 거지만 문제를 참 이상하게 냅니다.

여기에서는 "비행기가 계속해서 동쪽방향으로 날아가려면 몇 도 만큼 남쪽으로 향해야 하는가?" 로 이해하고 풀겠습니다.

비행기가 동쪽으로 가지만 바람에 의해서 북쪽으로 밀려나기 때문에, 실제 진행 방향은 북동쪽이 됩니다.

그러므로 원래 진행방향인 동쪽으로 가려면 θ 만큼 남쪽으로 회전할 필요가 있습니다. 

문제에서는 빠르기라고 표현했으므로 V₀ 와 v₀ 를 스칼라 값이라로 볼 수 있습니다. 그러므로 삼각함수를 사용해 θ 을 구할 수 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림은 어떤 단위 시간 간격으로 진자의 위치를 측정한 결과다. 이때 '위치 1' 과 '위치 4' 에서의 평균가속도 방향은 다음과 같은 순서로 운동을 분석하면 유추할 수 있다. 다음 각 단계의 물음에 답하라.

( a ) '위치 1' 에 도달하기 직전과 직후의 평균속도 벡터를 그림에 화살표로 나타내라.

( b ) ( a ) 에서 얻은 평균속도 벡터를 이용하여 '위치 1' 에서의 평균가속도 방향을 그림에 화살표로 나타내라.

( c )  '위치 4' 에 도달하기 직전과 직후의 평균속도 벡터 방향과 상대적 크기를 그림에 나타내라.

( d ) ( c ) 에서 얻은 평균속도 벡터를 이용하여 '위치 4' 에서의 평균가속도 방향을 그림에 화살표로 나타내라.

( e ) 같은 과정을 통해 '위치 3' 에서의 평균가속도 벡터 방향을 그림에 화살표로 나타내라.

단위 시간 간격으로 진자의 위치를 측정했다고 되어 있기 때문에 모든 구간에서 Δt = 1 이라고 가정하겠습니다. 

문제가 상당히 애매한 표현으로 이루어져 있는데요, 그냥 제 맘대로 해석해서 답을 구했습니다. 잘못된 답일 가능성이 상당히 높습니다.

( a )

'위치 1'  직전까지의 평균속도는 녹색이고, 직후의 평균속도는 파란색입니다.

( b )

추가 '위치 1' 에 도달하기 직전과 직후의 속도는 방향이 반대이고 크기가 같으므로 평균가속도는 0 입니다.

그런데 해답에서는 1 에서 3 으로 이어지는 벡터가 평균가속도라고 하고 있습니다. 최고점으로 올라가면서 감속을 하고 있으므로 그게 옳은 것 같습니다.

( c )

'위치 1' 에서 '위치 4' 방향으로 운동하고 있다면, '위치 4' 직전의 평균가속도는 녹색이고 '위치 4' 직후의 평균가속도는 파란색입니다.

( d )

'위치 4' 에서의 평균가속도는 붉은색입니다. 원래 4 의 위치에 그려야 하지만, 벡터이므로 어디에 그려도 상관없어서 그냥 그렸습니다.

( e )

'위치 4' 에서 '위치 3' 으로 운동하고 있다면 위치 '3' 의 평균 가속도는 붉은색입니다. 이 역시 벡터이므로 3 의 위치에다가 그리지 않고 그냥 그렸습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

시속 110 km 로 달리던 자동차의 브레이크를 밟으면 일정한 가속도로 50 m 를 이동한 후 정지한다고 한다.

 

( a ) 이때 가속도 크기는 얼마인가?

 

( b ) 멈추는데 걸리는 시간은 얼마인가?

 

( c ) 운전자가 브레이크를 밟기 시작하는 데 필요한 시간이 0.4 초라면, 자동차가 멈출 때까지는 얼마만큼의 거리를 이동하는가?

시간 구하는 것이 가장 일단 b 부터 풀어 보도록 하겠습니다.

( b )

초기속도 v₀ 인 자동차의 속도가 t₀ 부터 t₁ 까지 감속해 t₁ 에서 속도가 0 이 될 때까지의 그래프를 그리면 아래와 같습니다. 등가속도니 기울기는 a 인 직선 그래프가 됩니다.

등가속도 운동이므로 평균가속도와 순간가속도는 동일합니다. 그러므로 다음과 같이 식을 정리할 수 있습니다.

식 1.

이제 이동거리를 구해 봅시다. 위의 그림에서 삼각형의 면적이 이동거리입니다. 감속해서 정지할 때까지의 이동거리를 d 라 할때 식은 다음과 같습니다.

식 2.

우리는 초기속도와 이동거리를 알고 있습니다. 그래서 이를 대입하면 다음과 같습니다.

식 3.

( a )

속도와 시간을 알고 있으므로 식 1 에 대입해서 가속도를 구할 수 있습니다.

식 4.

해답에는 9.34 라고 나와 있네요. 어떤 계산이 잘못 되었는지 잘 모르겠군요(댓글에서 110 을 100 이라고 썼다고 알려 주셨네요).

( C )

이건 약간 함정문제 비슷한 것 같은데, 운전자가 브레이크를 밟는데 0.4 초가 걸렸다는 것은 가속도나 브레이크 밟고 있는 시간과 전혀 관계가 없습니다. 

그냥 v₀ 의 속도로 0.4 초를 진행하게 되는 겁니다. 이걸 50 m 에 더하면 됩니다.

식 5.

이 것도 해답은 62.2 입니다. 왜 차이가 나는지 모르겠습니다(댓글에서 110 을 100 이라고 썼다고 알려 주셨네요).

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

어떤 제트 여객기는 이륙하기 위해 300 km/h 의 빠르기가 필요하다고 한다. 활주로 길이가 2.0 km 라면 필요한 가속도의 크기는 몇 km/h² 인가?

문제에 어떠한 전제도 없기 때문에 정지상태에서 시작하는 등가속도 운동이라 가정합니다. 등가속도 운동에서는 평균가속도와 순간가속도가 동일합니다.

어떤 가속도 a 로 운동한다고 했을 때 속도는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

식 1.

등가속도 운동에서 속도는 선형적으로 증가하는 직선 그래프입니다. 그리고 그 아래의 면적은 이동거리가 되죠. 

정지상태에서 출발했다고 했기 때문에 원점에서 시작하는 직선그래프입니다.

기울기가 a 인 직선 그래프이므로 식 1 에서 언급한 것처럼 시간 t 에서 v 는 at 입니다. 그러므로 이동거리( 면적 )은 다음과 같습니다.

식 2.

여기에서 우리가 t 를 모르기 때문에 이미 알고 있는 변수들을 대입해야 합니다. 식 1 에 의해 t = v/a 이고 식 2 에 다음과 같이 대입할 수 있습니다.

식 3.

식 3 에 우리가 알고 있는 거리와 속도를 대입합니다.

22500 km/h² 의 가속도를 제공해야 합니다.

너무 큰 값이라 잘못된게 아닌가 싶기도 한데...

어쨌든 이를 초당 가속도로 바꾸면 6.25 km/s² 이고, 이륙에 걸리는 시간은 48 초입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

방울뱀은 50 m/s² 의 가속도로 먹이를 공격할 수 있다고 한다. 정지상태에서 그런 가속도로 100 km/h 의 빠르기를 얻으려면 몇 초가 걸리는가?

문제에서 특별한 전제가 존재하지 않기 때문에 등가속도 운동이라고 가정합니다.

가속도라는 것은 속도의 변화량입니다. 뱀이 등가속도 운동을 한다고 가정하면, 평균가속도와 가속도는 동일합니다.

식 ( 1 ).

식 ( 1 ) 을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

식 ( 2 ).

정지상태에서 시작했다고 했으므로 v₁ = 0 m/s 이고 t₁ 은 0 입니다. 그리고 a =  50 m/s² 입니다. 이를 식 ( 2 ) 에 대입하면 다음과 같습니다.

식( 3 ).

문제에서 100 km/h 의 빠르기에 도달한다고 했으니, 이를 초당 미터로 변경하면 27.8 m/s 가 됩니다. 이 속도를 식 ( 3 ) 에 대입하면 다음과 같습니다.

방울뱀은 0.556 초만에 100 km/h 에 도달할 수 있습니다. 

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

빠르기가 시속 20 km 인 두 기차가 마주 달리고 있다. 두 기차가 600 m 떨어진 상태에서, 새 한 마리가 한 기차를 출발하여 다른 쪽 기차까지 날아갔다가 되돌아 오는 운동을 계속한다고 한다. 새의 빠르기가 시속 30 km 라면 기차가 충돌할 때까지 새가 난 거리는 얼마인가?

일단 이 문제는 복잡하게 생각하면 안 됩니다. 그럼 꼬이죠. 결국 새가 날 수 있는 시간은 기차가 충돌할 때까지의 시간입니다.

그러므로 기차가 충돌하는 시간을 구하면 새의 속력을 알고 있으니 이동거리를 구할 수 있습니다.

기차를 A 와 B 라 합시다. A 의 속력을 v_a 라 하고 B 의 속력을 v_b 라 합시다. 그러면 두 기차가 t 시간 동안에 이동한 거리는 각각 v_at 와 v_bt 입니다. 그 합이 600 m 가 될 때 기차는 충돌하며 이때의 t 의 값을 구할 수 있습니다.

이제 시간을 구했으니 새의 이동거리를 구할 수 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

직선 위에서 운동하는 어떤 물체의 위치를 x( t ) = -4t + t² 으로 나타낼 수 있다고 한다. 여기에서 시간은 초( s ), 위치는 미터( m ) 단위다.

( a ) t = ( 2, 4 ) 초 구간과 t = ( 4, 6 ) 초 구간의 평균속도는 각각 얼마인가?

( b ) ( a ) 의 결과로부터 얻은 t = ( 2, 6 ) 초 구간의 평균가속도는 얼마인가?

( c ) t = ( 3, 4 ) 와 t = ( 4, 5 ) 초 구간의 평균속도는 각각 얼마인가?

( d ) ( c ) 의 결과로부터 얻은 t = ( 3, 5 ) 초 구간의 평균가속도는 얼마인가?

( a )

먼저 t 는 2, 4, 6 일 때의 위치를 구합니다.

이제 구간별로 평균속도를 구합니다. 평균속도는 다음과 같이 결정됩니다.

그러므로 구간별 평균속도는 다음과 같습니다.

( b )

평균가속도는 다음과 같이 결정됩니다.

그러므로 ( 2, 6 ) 구간의 속도차이를 먼저 구합니다.

이제 평균가속도를 구합니다.

정답에서는 +2 라는데 제가 뭘 잘못 이해하고 있는지 모르겠네요. 

-2 에서 시작해 속도가 초당 +1 씩 증가하면 4 초 뒤의 속도는 +2 가 되는 것으로 봤을 때 맞는 것 같은데 말이죠.

( C )

t 는 3, 5 일 때 이동거리를 구합니다.

그러므로 구간별 평균속도는 다음과 같습니다.

( d )

( 3, 5 ) 구간의 속도차이를 먼저 구합니다.

이제 평균가속도를 구합니다.

이 역시 정답에서는 +2 입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

어떤 초음속 전투기의 빠르기가 시속 1980 km 라 한다. 조종사가 눈을 한 번 깜박이는 동안 전투기가 날아간 거리는 얼마인가? 단, 조종사가 눈을 깜박일 때 눈을 감고 있는 시간을 0.1 초라고 가정하라.

일단 시속을 초속으로 변환합니다.

초속을 알았으니 0.1 초만큼 간 거리는 다음과 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

다음 그림은 수평 방향으로 던진 물체의 위치를 어떤 단위 시간 간격으로 측정한 기록이다.

( a ) 각 시간 구간의 평균속도 벡터를 그림에 화살표로 나타내라.

( b ) ( a ) 에서 얻은 평균속도 벡터를 각 구간 시작점 시간의 순간속도라 하자. 이때 매시간 구간의 평균가속도 벡터를 그림에 화살표로 나타내라.

( a )

( b )

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

낮은 궤도의 인공위성이 90 분에 지구를 한 바퀴 돈다고 한다. 지구 반지름을 6400 km 라 할 때, 인공위성 빠르기를 시속과 초속으로 나타내라.

낮은 궤도라고 이야기하는 것은 지구 반지름과 인공위성의 높이를 거의 유사하게 취급하겠다는 의미라고 보입니다.

그러므로 인공위성의 궤도가 원이라는 가정하에서, 그 둘레 D 는 다음과 같습니다.

속력은 [이동거리/시간] 이므로 분속 V 는 다음과 같습니다.

시간의 단위를 바꾸면 속력은 각각 다음과 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

인간의 몸을 한 변의 길이가 1/2 m 인 정육면체라고 보면, 인간의 몸은 몇 개의 원자로 이루어져 있는가? 단, 원자를 한 변의 길이가 10^-10 m 인 정육면체로 취급한다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

2-12

정지한 상태에서 일정한 가속도 a 로 운동하는 경우, 거리 x 까지 이동했을 때의 속도를 v² = 2ax 로 나타낼 수 있음을 보여라.

정지한 상태에서의 a 로 등가속도 운동을 할 때 시간과 속도와의 관계를 그래프로 나타내면 아래와 같습니다.

일단 그래프의 기울기가 |a| 이기 때문에 시간 t 에서의 속도 v 는 식 1 과 같이 정의됩니다. 여기에서 식을 단순화하기 위해서 가속도 벡터 a 의 크기인 |a| 를 a 로 나타냅니다( 부연 : 볼드체는 벡터입니다 ).

식 1.

그래프의 면적은 이동거리를 나타내므로 이동거리 x 는 식 2 와 같이 정의됩니다.

식 2.

이 식을 t 에 대해 정리하면 식 3 과 같습니다.

식 3.

식 3 의 t 값을 식 1 에 대입하면 식 4 가 나옵니다.

식 4.

2-13

처음 속도 v₀ 으로 미끄러지던 썰매가 일정한 가속도 크기 |a₀| 로 멈췄다. 멈출때까지 이동한 거리가  임을 보여라.

이 상황을 그래프로 그려 보면 2-12 의 그래프와 반대가 됩니다. 

하지만 여전히 아래 면적이 이동거리입니다. 그렇다고 하면 2-12 에서 유도한 식들에다가 v₀ 와 a₀ 를 할당하면 동일한 결과를 산출할 것입니다.

식 4 를 변형하면 식 5 가 나옵니다.

식 5.

식 5 에  v₀ 와 |a₀| 를 할당하면 다음과 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

2-10

다음 그림은 직선 운동에서 점점 느리게 가는 경우를 나타낸 위치 자료다.

( a ) 각 시간 구간의 속도벡터 방향과 속도벡터의 상대적 크기를 그림에 나타내라.

( b ) 이 운동에서 가속도 방향은 어느 방향인가?

( a )

딱히 "평균속도" 나 "평균가속도" 같은 단서가 붙지 않았기 때문에 두 위치를 연결한 것이 속도벡터이고 그것이 크기를 나타냅니다.

( b )

오른쪽으로 갈수록 속도가 줄어들고 있기 때문에 가속도는 왼쪽방향으로 적용되고 있습니다.

2-11

왼쪽( - ) 방향으로 운동하는 물체의 빠르기가 점점 빨라질 때 평균가속도는 어떤 방향( 부호 )인가?

왼쪽 방향으로 운동하는 물체를 더욱 빠르게 만들기 위해서는 왼쪽으로 가속도가 주어져야 합니다. 그러므로 평균가속도의 방향은 왼쪽( - ) 입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

일정한 빠르기로 원운동을 하는 물체가 있다. 이 경우 물체가 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 T 라고 하고, 빠르기를 v₀ 라고 하자. 시계 방향으로 원운동을 하는 물체의 처음 위치를 A 라고 할 때, 그 위치에서의 속도는 접선 방향인 동쪽이 된다. 그리고 시간 T / 4 가 지난 후의 위치 B 에서의 속도는 남쪽을 향한다.

( a ) T / 4 구간에서 속도벡터 변화량 방향, 즉 평균가속도 방향은 어느 방향인가?

( b ) T / 4 구간에서 평균 가속도의 크기가  임을 보여라.

( a )

B 에서의 속도를 v₁ 이라고 할 때, 구간에서의 평균 속도의 방향인 Δv 는 v₁ - v₀ 입니다.

즉, 평속 속도 방향은 남서쪽을 향합니다.

( b )

일정 구간에서 평균가속도의 크기는 다음과 같습니다.

일정한 빠르기로 원운동을 하고 있기에 v₀ 의 속력과 v₁ 의 속력은 동일합니다. 그러므로 피타고라스 정리와 닮은꼴 삼각형의 성질을 이용하면 빗변의 길이를 구할 수 있습니다.√

그림에서 bold 체이면 벡터이고 그렇지 않으면 스칼라라는 점에 주의해 주시기 바랍니다. 그러므로 그림에서 |v₀| = v₀ 입니다.

이제 평균가속도 구하는 식에 값을 대입합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

어떤 두 시각에서의 속도벡터 v1, v2 가 다음과 같다고 할 때, 평균가속도 벡터를 그림에 표시하라.

"평균가속도" 는 "속도변화량 / 시간변화량" 입니다.

표현을 단순화하기 위해서 일단

t2 - t1 = Δt 

라 하겠습니다. 그러면 평균가속도는 다음과 같습니다.

만약 Δt 가 1 이라면 평균가속도는 그냥 v2 - v1 이 되겠죠.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

달이 원운동을 한 번 하는 데는 약 28 일이 걸린다. 지구 반지름은 6,400 km 고, 지구에서 달까지의 거리는 지구 반지름의 약 60 배다. 달의 빠르기를 시속으로 나타내라.

"시속 = 이동거리 / 시간" 으로 계산되므로 이와 관련한 식을 세워야 합니다.

지구 반지름을 r 이라 하면, 지구에서 달 까지의 거리는 60 r 입니다. 그러면 달이 회전하는 궤도의 반지름이 60r 이라는 의미이며, 그 둘레는 2π * 60r 입니다.

이제 실제 계산을 해 보겠습니다.

달은 지구 주위를 시속 약 3600 km 의 속력으로 회전합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

원운동에서 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 주기라 하고, 이를 T 로 나타낸다. 원운동에서 중심점을 원점으로 할 때, 

( a ) 특정 시각의 위치벡터와 그 시각에서부터 1/4 주기 후의 위치벡터를 화살표로 나타내라.

( b ) 변위 벡터를 화살표로 나타내라.

시간 t [second] 에서의 회전각을 θ [radian] 라고 할 때, 시간 T 일 때 θ 는 2pi 입니다. 즉 1 초에 2pi / T 만큼의 각도를 이동하게 됩니다.

반지름이 1 인 원에서 각 θ 일 때의 벡터 r_t 는 ( cos( θ ), sin( θ ) ) 입니다. 만약 반지름이 r 이라 한다면, r_t 는 ( r * cos( θ ), r * sin( θ ) ) 입니다.

여기에서 1/4 주기만큼 이동했다고 하면 그 각 α 는 ( 2pi / T ) / 4 입니다. 정리하면 pi / 2T 입니다.

그러면 θ + α = ( 4 * t + 1 )pi / 2T 입니다.

이제 변위 Δr 은 다음과 같습니다.

실제 벡터를 구하고자 한다면 θ 와 α 에 t 와 T 로 이루어진 식을 할당하면 됩니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

다음 물음들에 답하여라.

( a ) 두 벡터 A, B 가 있을 때, 벡터의 덧셈연산의 정의를 사용하여 다음 관계가 있음을 보여라.

즉 벡터의 덧셈연산은 '교환법칙' 을 만족시킨다.

( b ) 세 벡터 A, B, C 가 있을 때, 다음 관계가 있음을 보여라.

즉 세 벡터에서 덧셈연산은 어떤 순서로 해도 상관없으며, 따라서 '결합법칙' 도 만족시킨다.

( a )

책에서 벡터에 대한 정의를 수학적으로 하지 않은 것으로 봐서는 도식화를 해서 증명하라는 것으로 보입니다.

굳이 수학적으로 증명하자면 다음과 같습니다.

N 차원 벡터 Vn 은 { v1, v2, ..., vn } 이라는 집합으로 정의됩니다. 벡터의 덧셈은 같은 축의 성분끼리의 덧셈입니다.

그러므로 다음이 성립합니다.

각 축 요소들은 스칼라이므로 교환법칙이 성립합니다.

( b )

그림을 그리기 귀찮으니 수학적으로 증명하겠습니다.

각 축 요소들은 스칼라이므로 결합법칙이 성립합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

2-1

무선 통신에 쓰이는 전자기 파동의 진동수는 1 GHz 다. 여기에서 1 Hz = 1 S^-1 으로 정의하는 양으로, 1 Hz( 헤르츠 ) 는 1 초에 1 번 진동하는 진동수를 뜻한다. 진동수가 1 GHz 인 파동은 1 초에 몇 번 진동하는가?

Giga 는 10⁹ 을 의미하므로 초당 10⁹ 만큼 진동합니다.

2-2

각 변의 길이가 1 nm( 나노미터 ) 인 정육면체 나노입자에는 약 몇 개의 원자가 있다고 추정되는가? 단 원자의 한 변의 길이가 10^-10, 즉 1/10 nm 인 정육면체 형태로 가정하라.

나노입자의 부피는 다음과 같습니다.

원자의 부피는 다음과 같습니다.

나노입자 안의 원자의 개수는 다음과 같이 계산합니다.

나노입자 안에는 원자가 10³ 개 만큼 들어 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

인체는 약 10¹⁵ 개의 세포로 이루어져 있다고 한다. 인체를 이루는 원자의 개수가 10²⁷ 개라면 세포 하나는 약 몇 개의 원자로 이루어져 있는가?

"a" 는 "atomic" 을 의미하고 "c" 는 "cell" 을 의미합니다. 문제는 세포당 원자개수를 구하는 것이기 때문에 다음과 같이 풀수 있습니다.

세포 하나는 약 10¹² 개의 원자로 구성되어 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

공이나 책과 같이 우리가 주위에서 보는 물체의 크기는 1 cm, 1 m 등과 같이 미터 단위로 측정할 수 있다. 우리가 주위에서 볼 수 있는 물체의 원자가 몇 개나 모여서 이루어진 것인지 짐작해 보자.

( a ) 정육면체 모양의 물체의 한 변의 길이를 0.1 m 라 가정하면, 그 부피는 얼마인가?

( b ) 원자의 지름은 10^-10 m 이다. 원자를 한 변의 길이가 10^-10 m 인 정육면체로 본다면, 원자를 차곡차곡 쌓아 ( a ) 의 물체를 이루었을 때 물체 속 원자 개수는 몇 개인가?

( a )

정육면체의 부피를 구하는 식은 한 변의 길이를 n 이라고 할 때 다음과 같습니다.

그러므로 한 변의 길이가 0.1 m 인 정육면체의 부피는 다음과 같습니다.

( b )

한 변의 길이가 10^-10 m 인 원자 정육면체의 부피는  10^-30 [ m³ ] 입니다. 그러므로 물체속의 원자 개수를 다음과 같이 계산할 수 있습니다. "N" 은 "Number" 를 의미합니다. 첨자 "o" 는 "object" 를 "a" 는 "atomic" 을 의미합니다.

정육면체 물체에는 원자가 10²⁷ 개가 들어 있습니다. 

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

원자핵의 반지름이 원자 반지름의 10^-5 일 때, 핵의 부피는 원자 부피의 몇 배인가?

문제를 풀기 전에 책의 설명이 좀 부실해서 부연하고자 합니다. 

[ Units of Measurement ] 에 의하면 소수점 1000 단위마다 밀리( milli ), 마이크로( micro ), 나노( nano )라는 단위로 나뉩니다( 나중에 표 2-2 로 나오기는 하네요 ).

출처 : [ Units of Measurement ].

원자의 중심에 원자핵이 있으므로 원자와 원자핵의 관계는 다음과 같습니다.

원자핵의 반지름을 r 이라 하고 원자의 반지름을 r' 이라고 할 때 다음과 같은 관계식을 만들 수 있습니다.

이를 부피를 구하는 관계식에다가 넣으면 다음과 같습니다. 여기에서 아래첨자 "a" 는 "atomic" 을 "n" 은 "nucleus" 를 의미합니다 .

그러므로 원자의 부피는 원자핵의 부피보다 10¹⁵ 만큼 큽니다.