주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



질량이 1.5 kg 인 물체가 질량이 7.5 kg 인 물체 위에 있다. 두 물체는 줄로 연결되어 있다. 이 계의 운동에서 마찰력이 무시된다고 할 때,



( a ) 질량이 1.5 kg 인 물체를 2.5 m/s2 의 가속도 크기로 가속하려면, 질량이 7.5 kg 인 물체에 어떤 크기의 힘을 작용해야 하는가?


( b ) 그 경우 줄에 작용하는 장력의 세기는 얼마인가?


( a )


도르레로 연결해 놓았지만, 사실 이 두 물체는 일렬로 연결되어 있는 것과 같습니다.


아래에 있는 물체의 질량을 M 이라 하고 위에 있는 물체의 질량을 m 이라고 했을 때, 이것을 당기는 힘은 다음과 같이 정의됩니다.


식 1.


실제로 주어진 값을 대입해서 힘의 크기를 구하면 다음과 같습니다.


식 2.


( b )


힘의 일부는 질량 M 인 물체를 움직이는데 사용되고, 장력을 통해 질량 m 인 물체를 움직이게 됩니다.


그러므로 장력 T 는 다음과 같습니다.


식 3.


주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



질량이 7,600 kg 인 헬리콥터가 질량이 1,400 kg 인 물체를 줄에 매단 채 0.8  m/s2 의 가속도로 수직으로 상승하고 있다.


( a ) 헬리콥터 날개의 양력( 들어 올리는 힘 ) 세기를 구하라.


( b ) 물체를 매단 줄에 작용하는 장력의 세기를 구하라.


( c ) 줄이 헬리콥터를 당기는 힘의 세기를 구하라.


그림 1.


그림 1 의 변수 및 상수들을 다음과 같이 정의합니다.


  • M : 헬리콥터 질량.

  • m : 물체 질량.

  • F : 헬리콥터의 양력.

  • G : 중력.

  • g : 중력 가속도. 위쪽을 + 방향이라 할 때 중력 가속도는 - 방향. 9.8 m/s2

  • Fn : 알짜힘.

  • an : 상승 가속도( 알짜힘 가속도 ). 0.8 m/s2.

  • Tb :  물체를 매단 줄에 작용하는 장력의 세기.

  • Tc : 줄이 헬리콥터를 당기는 장력의 세기.


( a )


위의 조건으로부터 알짜힘을 구할 수 있습니다. 중력과 양력을 더한 힘이 알짜힘입니다.


식 1.


질량과 가속도를 구해 봅시다.


식 2.


가속도를 알았으니 양력을 구할 수 있습니다.


식 3.


( b )( c )


물체와 헬리콥터가 함께 움직이고 있기 때문에, 두 물체가 받는 힘의 비는 질량의 비와 같습니다. 그러므로 줄에 작용하는 장력은 헬리콥터가 운동하는 데 필요한 힘만큼을 빼고 작용합니다.


식 4.


질량이 0 인 줄에서 양 끝에 작용하는 장력의 크기는 동일하므로 결과는 다음과 같습니다.


식 5.


주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



수직으로 세운 막대의 두 곳에 질량이 m 인 물체를 끈으로 연결하고, 중심축으로 중심으로 막대를 회전시킨다고 한다. 끈의 질량은 무시하고, 끈과 막대는 한 변의 길이가 a 인 정삼각형을 이룬다. 윗 부분 끈에 작용하는 장력 세기는 T1 이라고 한다.



(a) 아랫부분 끈에 작용하는 장력 세기는 얼마인가?


(b) 물체에 작용하는 알짜 힘의 세기와 방향을 구하라.


(c) 물체의 빠르기는 얼마인가?



주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



수직으로 세운 막대 끝에 연결된 끈에 질량이 m 인 물체를 매달고, 중심축을 중심으로 막대를 돌려 물체를 회전시킨다고 하다. 막대 축으로부터 물체까지의 거리가 D 이고, 물체의 빠르기는 v0 이다. 끈의 질량을 무시한다고 할 때,



(a) 물체에 작용하는 알짜힘은 어느 방향을 향하는가?

(b) 물체에 작용하는 알짜힘의 세기를 구하라.

(c) 끈에 작용하는 장력 세기는 얼마인가?


일단 문제에서는 등속 원운동을 가정하지 않았지만, 등속 원운동이라 생각하고 문제를 풀겠습니다.


일정한 속도로 등속 원운동을 한다면, 속도의 크기( 빠르기 )와 가속도의 크기는 다음과 같습니다. 증명은 [ 연습문제 5-5 ] 에서 확인하십시오.


식 1 에서 ω 는 각속도입니다.


식 1.


( a )


등속 원운동 시에 힘의 방향은 막대의 중심축을 향하게 됩니다. 


여기에서 헷갈리는 건, 알짜힘을 구하는 과정을 서술하라는 것인지, 아니면 중력에 의한 등속 원운동과 끈을 매달고 회전시켰을 때의 등속 원운동이 같은 개념이라는 가정을 깔고 문제를 풀라는 것인지 알 수가 없습니다.


이미 증명은 [ 연습문제 5-5 ] 에서 했으므로 따로 하지는 않겠습니다. 결국 중력이라는 가상의 끈으로 이어져 있든지 아니면 실제 끈으로 이어져 있든지 나타나는 결과는 같습니다.


( b )


식 1 을 통해 물체의 가속도를 알 수 있기 때문에, 알짜힘 크기는 다음과 같습니다.


식 2.


( c )


문제에서는 중력에 대해서 언급하고 있지 않지만 실제 해답에서는 중력을 고려하고 있습니다. 그래서 이 문제 풀이에서 오답이 나왔습니다. 만약 중력이 작용하지 않으면 T = F 가 되겠죠.


하지만 중력을 고려해야 하므로 물체에는 알짜힘과 중력의 합의 크기가 장력의 크기와 같습니다.


그림 1.


피타고라스 정리를 통해 문제를 풀어 보겠습니다.


식 3.


하지만 해답은 다음과 같습니다.


식 4.


해답이 오답인 것 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



미래의 우주 정거장 속에 사는 사람들은 지구 중력을 받는 우리와 같은 환경 속에서 지낼 수 있다. 우주 정거장을 원 모양으로 만들어 일정한 빠르기로 회전시키면 된다. 우주 정거장의 반지름이 500 m 라고 할 때, 우주 정거장 안에 있는 사람과 정거장 바깥쪽 벽면 사이의 힘이 mg 크기가 되려면, 정거장은 1 분당 몇 번 회전해야 하는가?


결국 지구와 같은 중력을 느끼기 위한 정거장의 분당 회전수를 구하라는 것입니다.


[ 연습문제 5-5 ] 에 의해서 등속원운동하는 물체의 속도와 구심 가속도의 크기는 다음과 같습니다. r 은 반지름, ω 는 각속도, T 는 주기입니다.


식 1.


중력 가속도와 구심 가속도는 같은 개념입니다. 그러므로 그러므로 중력 가속도는 다음과 같습니다.


식 2.


1 회전에 T 분 걸리기 때문에, 1/T 는 분당 회전수가 됩니다.


식 3.


해답은 1.36 [번/분] 이기는 하지만 대충 값이 비슷하므로 정답으로 취급하겠습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



문제에서는 "위성의 빠르기와 주기 사이에 T2 ∝ r3  관계가 있음을 보여라" 인데 문제가 약간 이상합니다. 아마도 주기와 반지름의 관계겠죠. 


일단 익히 알고 있는 식으로부터 시작하겠습니다. 위성의 가속도 a 는 다음과 같습니다. 여기에서 r 을 벡터로 표기하고 있는데요, 이건 지구 중심으로부터 위성까지의 벡터입니다.


식 1.



중력 F ( 중력가속도가 아니라 중력입니다 )는 다음과 같이 정의됩니다. G 는 중력상수, M 은 지구의 질량, m 은 위성의 질량입니다.


식 2.


이 경우에 위성의 가속도를 a 라했을 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.


식 3.


식 1 에서 위성의 가속도를 알고 있기 때문에 식 3 에 대입하면 다음과 같습니다.


식 4.


식 4 를 정리하면 다음과 같습니다.


식 5.


식 5 를 통해 반지름의 세제곱은 주기의 제곱과 비례관계에 있음을 알 수 있습니다.


그런데 실제 케플러 3 법칙을 검색해 보니 비례식의 결론은 유사한데, 정확한 식이 다르게 나오는군요. 아마도 장축과 단축을 고려하지 않은 데서 차이가 발생하지 않나 싶네요...

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



지표면 가까이서 도는 인공위성은 지상 100 km 정도의 낮은 궤도로 돌기도 한다. 지구 반지름이 약 6400 km 인 점을 고려하면, 그런 위성은 사실상 지표면을 따라 돈다고 볼 수 있다. 인공위성 궤도의 반지름을 6500 km 라고 할 때, 인공위성의 빠르기와 위성의 주기를 구하라. 단, 그 높이의 중력가속도 크기는 GM/R2 ≒ 10 m/s2 으로 가정하라.


[ 연습문제 5-5 ] 를 통해 공전하는 물체의 속도의 크기와 가속도 크기는 다음과 같다는 것을 알고 있습니다( 다시 증명하는 게 귀찮으니 링크만 겁니다 ).


식 1.


그런데 문제 1 에서 중력가속도의 크기가 주어졌습니다. 중력가속도의 크기는 위성의 가속도의 크기와 같으므로 다음과 같이 식을 정리할 수 있습니다.


식 2.


식 2 가 의심이 간다면 다음과 같이 중력이 두 물체의 질량과 중력상수에 비례하고 거리에 반비례한다는 사실을 이용하시면 확인할 수 있습니다.


식 3.


어쨌든 식 2 를 풀면 다음과 같이 속도의 크기를 구할 수 있습니다.


식 4.


하지만 해답은 7.85 X 10-3 이더군요. 물잘알 친구 햄에게도 풀어보라고 했지만 햄도 저와 같은 답을 산출했습니다. 그러므로 해답이 오답인 것으로 보입니다.


이제 속도를 알았으므로 식 1 을 사용해서 주기를 구할 수 있습니다.


식 5.


이 역시 햄과 동일한 답이 나왔습니다.


해답이 오답인 것으로 보입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



지구는 태양 주위를 약 365 일 주기로 원운동을 한다. 지구에서 태양까지의 거리는 149.6 X 106 km 이다. 지구가 공전하는 가속도 크기를 구하고, 그로부터 태양의 질량을 계산하라.


어떤 원에서 각 θ 일때의 위치 함수 P 를 생각해 봅시다. 그러면 위치함수는 x 와 y 성분으로 이루어진 벡터를 반환합니다.


그림 1.


그림 1 에서 P 함수의 값은 삼각함수를 통해 구해졌습니다.


그런데 우리가 주어진 문제를 풀기 위해서는 θ 를 시간에 대한 함수로 나타낼 필요가 있습니다. 왜냐하면 지구가 태양 주위를 회전하는 데 걸리는 시간을 의미하는 주기를 고려해야 하기 때문입니다.


그림 1 의 원점이 태양의 위치라 가정하면, 지구는 그것을 중심으로 원운동을 합니다. 문제에서 365 일이라고 지정된 주기를 T 라 합시다. 단위시간( 여기에서는 1일 )에 회전하는 각도를 각속도라고 하고 그것을 ω 라 표현하면, 식 1 이 성립합니다. T 일 동안 한 바퀴를 돌면 1 일 동안 ω 를 돌게 된다는 것이죠.


식 1.


자, 이렇게 되면 현재 각 θ 는 시간 t 에 대해 다음과 같이 표현될 수 있습니다.


식 2.


만약 t 가 T 라면 결과는 2π 이고 한바퀴의 각도를 의미하게 됩니다.


이제 위치함수 P 는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.


식 3.


위치 함수를 적분하면 속도함수가 나옵니다. 문제는 이 위치함수가 합성함수라는 점입니다. 여기에서 합성함수 미분법을 증명하는 것은 주제에서 벗어나기 때문에 "합성함수 미분" 이나 "미분 연쇄법칙" 등을 키워드로 해서 검색해 보시기 바랍니다.


어쨌든 P 함수를 성분별로 미분하면 속도 함수가 나옵니다.


식 4.


식 5.


속도 함수를 미분하면 가속도 함수가 나옵니다.


식 6.


식 7.


지금까지의 식들을 정리해 보도록 하겠습니다.


식 8.


속도 벡터와 가속도 벡터의 크기는 다음과 같습니다.


식 9.


식 10.


이제 식 10 에 주어진 값들을 대입해 보겠습니다.


식 11.


해답은 5.939 X 10-3 입니다. 반올림을 한 거니 답이 맞다고 가정합니다.


여기에서 구한 가속도는 태양과 지구 사이에서 작용하는 원심력인 중력과 같습니다.


중력은 만유인력 상수 및 두 물체의 질량에 비례하며, 거리에 반비례합니다. 그러므로 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.


식 12.


해답은 1.992 X 1030 인데 첫번째 문제에서 반올림하지 않은 것의 영향이라고 보기에는 값이 너무 차이가 납니다. 


5.939 X 10-3 를 넣어 봤는데 1.9756 X 1030 이 나왔습니다.


해답이 오답인 것으로 보입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



높이가 H 인 나무 위에 있는 원숭이를 향해 사냥꾼이 총을 발사했다. 총알의 빠르기는 v0 로 일정하고, 사냥꾼에서부터 나무까지의 수평거리는 R 이다.



(a) 총알이 나무 위치에 도달하는데 설린 시간은 얼마인가?


(b) 그 시각 총알의 높이는 얼마인가?


(c) 총알이 발사되는 순간 원숭이가 떨어지기 시작했다면, 그 시각 원숭이가 있는 높이는 얼마인가?


처음에는 답이 틀렸다고 생각했는데, 물잘알 햄이 풀어 보더니 답 맞다고 합니다. 삼각함수의 정의를 이용해서 풀면 맞더군요. 아직 저는 응용력이 많이 부족한 것 같습니다.


중력가속도를 g 라 합니다.


먼저 H 와 R 로 이루어진 직각삼각형의 빗변을 L 이라 하겠습니다.


식 1.


그러면 이제 사인과 코사인을 구할 수 있습니다.


식 2.


총알을 발사하면 총알 속도의 수직성분은 중력에 의해서 감속됩니다. 수평성분은 그대로입니다.  그러므로 시간 t 일 때의 수평성분과 수직성분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.


식 3.


시간 t 일 때 위치 함수는 식 3 을 부정적분함으로써 구할 수 있습니다.


식 4.


식 5.


식 4 와 식 5 를 각각 정적분하게 되면 [0, t] 까지의 이동거리가 나옵니다.


식 6.


식 7.


( a )


총알이 나무에 도달하는 시간을 th 라 하겠습니다. 이 때까지의 수평성분 이동거리는 R 이 됩니다. 식 6 을 사용해 이동거리를 구하면 도달하는 시간을 구할 수 있습니다.


식 8.


( b )


총알의 높이는 식 5 를 사용해서 구할 수 있습니다.


식 9.


( c )


원숭이는 자유낙하를 합니다. 시간 t 에 원숭이의 속도는 다음과 같습니다.


식 10.


그러면 식 10 을 부정적분해서 원숭이의 위치 함수를 구할 수 있습니다.


식 11.


식 11 에  th 를 대입하면 원숭이의 위치가 나옵니다.


식 12.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



  • 탄환 최대 도달거리 : 1 km

  • 중력 가속도 : 10 m/s2

  • 대포 사정거리 : 100 km


총탄 초기속도와 포탄 초기 속도를 구하는 문제입니다. 최대 도달거리라는 조건이 주어졌으므로, 45 도 각도로 포물선 운동하는 물체여야 합니다.


처음에는 H 에서 수평으로 던져졌다고 생각하고 문제를 풀었는데, 아주 괴랄한 식이 나오더군요. 그런데 물잘알 친구 햄이 "최대" 라는 전제조건을 깔았기 때문에 45 도로 던져져야 한다고 지적해 줘서 다시 문제를 풀었습니다.


사실 왜 45 도에서 최대 거리가 나오는지 증명부터 해야 하지만 귀찮으니 그냥 넘어 가도록 하겠습니다. 나중에 시간나면 추가하겠습니다.


각도 Θ 로 던져진 공이 있다고 했을 때 그것의 초기속도 v0 는 중력방향에 대한 수직성분 및 수평성분 속도로 나뉩니다.


식 1.


그리고 시간 t 가 지났을 때 속도는 다음과 같습니다.


식 2.


만약 시간 t 에서 수직성분 속도가 0 이 된다면, t 일 때 최대 높이가 됩니다.


식 3.


포물선 운동은 최대 높이에서 중력축에 대해서 좌우대칭인 모양을 보여 주기 때문에 땅에 떨어졌을 때의 시간은 2t 가 됩니다. 그러므로 시간 2t 까지의 이동거리를 구하면 됩니다.


수평성분 이동거리는 다음과 같습니다.


식 4.

식 4 에 의해 총탄의 초기속도는 다음과 같습니다.


식 5.



식 4 에 의해 포탄의 초기속도는 다음과 같습니다.


식 6.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



다음은 포물선 운동에 관한 문제다. 각각 물음에 답하라.



( a ) 공중으로 던져진 공은 y = ax2 + bx + c 의 형태의 포물선 모양을 그리며 운동하는 것을 보여라.


( b ) 경사면 각도가 30 도인 언덕방향으로 v0 의 빠르기로 수평과 θ 의 각도로 던진 공이 있다. 공을 던진 점으로부터 수평거리를 x 라 할 때 이 경우 언덕 경사면 높이는 y = (1/2)x 로 나타낼 수 있다. 공이 도달한 언덕 높이는 얼마인가?



( a )


어떤 각도로 공중으로 던져진 공은 중력가속도 g 를 받습니다. 그래서 항상 속도와 위치가 변화합니다.


시간 t 에서 y 성분 속도 함수는 다음과 같습니다. 초기 속도가 중력가속도에 의해서 상쇠되면서 올라갔다가 떨어지는거죠.


식 1.


식 1 을 부정적분해서 위치함수( y 값 )를 구할 수 있습니다.


식 2.


이제 x 의 관점에서도 식 1 과 식 2 처럼 풀어 보도록 하겠습니다. 차이가 있다면 x 축 성분은 시간의 변화에도 영향을 받지 않는 상수라는 것입니다.


식 3.


이제 이를 x 와 y 의 관계로 나타내야 합니다.


식 3 에서 t 값을 구할 수 있습니다.


식 4.


t 값을 식 2 에 대입합니다.


식 5.


그러므로 던져진 공은 계수가 다음과 같은 포물선 운동을 한다고 할 수 있습니다.


식 6.


삼각함수를 사용하면 초기 속도의 수평성분과 수직성분을 구할 수 있습니다.


식 7.


우리는 최종적으로 식을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.


식 8.

( b )


경사면과 공이 만났다는 이야기는 포물선과 경사면을 표현하는 그래프의 y 값이 동일하다는 의미입니다( 두 그래프가 만남 ). 그러므로 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.


식 7.


이 x 값 중에 첫 번째 해는 시작위치를 의미하므로 두 번째 해를 사용하면 됩니다. 두 번째 해를 y = (1/2)x 에다가 대입하도록 하겠습니다.


식 8.


해답은 다음과 같습니다.


식 11.


아무래도 해답이 오답인 것 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



지표면으로부터 높이 H 인 곳에서, 공을 v0 의 빠르기로 수평과 θ 의 각도로 위로 향해 던졌다. 공이 지표면에 닿기까지 공이 수평방향으로 이동한 거리는 얼마인가?


  • 중력 가속도 : g

  • 최고점에 도달하는 시간 : th

  • 최고점에서 땅에 떨어지는 시간 : tl


그림 1.


일단 이 문제를 해결하기 위해서는 공이 땅에 떨어지는 시간을 구해야 합니다.


던진 공의 초기 속도 분해


공은 θ 의 각도로 던져지고 있으므로 이것을 수평성분( x )과 수직성분( y )으로 나누면 다음과 같습니다.


식 1.


공의 수직 성분 속도


공에는 지속적으로 중력 가속도가 가해지므로 시간 t 에서의 속도는 다음과 같습니다.


식 2.


최고점에 도달하는 시간


그런데 최고점에 도달하는 경우는 속도의 크기가 0 이 되는 경우입니다. 그러므로 최고점에 도달하는 시간 th 는 다음과 같이 구할 수 있습니다.


식 3.

최고점까지의 이동 거리



먼저 식 2 의 속도함수를 부정적분해 이동거리함수의 원함수를 구합니다.


식 4.


 [ 0, th ] 의 범위로 정적분하면 최고점까지의 이동거리가 됩니다.


식 5.


최고점의 높이


그런데 이것은 시간 th 까지의 이동거리이므로 최고점에서의 높이는 공을 던진 초기 높이인 H 에서 이동거리를 더한 값이 되어야 합니다. 여기에서 P 는 위치 함수입니다.


식 6.


자유낙하 운동 속도


이제 최고점의 높이를 구했으니, 시간 th 부터는 자유낙하 운동을 하게 됩니다.


자유낙하 운동을 하고 있을 때 속도 함수는 다음과 같습니다.


식 7.


자유낙하 운동 이동 거리


자유낙하 속도 함수를 부정적분해서 이동거리 함수의 원함수를 구합니다.


식 8.


자유낙하 시간


자유낙하 이동 거리는 최고점의 높이와 같아야 합니다. 그러므로 다음이 성립해야 합니다.


식 9.


그런데 t 는 자유낙하 시간만을 의미하기 때문에 실제 tl 은 다음과 같습니다.


식 10.


수평 성분 이동거리


문제에서는 공기저항에 대해서 언급하지 않고 있기 때문에, 관성에 의해서 수평이동 운동은 등속도 운동이 됩니다. 그러므로 다음이 성립합니다.


식 11.


식 11 에 공이 바닥에 도달하기까지의 시간  tl  을 대입하면 다음과 같습니다.


식 12.


우리는 식 1 에서 초기속도를 계산했으므로, 이를 식 12 에 대입해서 최종 결과를 구할 수 있습니다.


식 13.


그런데 해답에서는 루트 안의 뒤쪽 항이 4gH 군요. 몇 번 검증해 봤는데, 해답이 오답인 것 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



( a )


m 에 대해 작용하는 중력 가속도는 g 이며 이를 힘으로 나타내면 F = mg 입니다.


그러므로 다음과 같이 g 를 계산할 수 있습니다.


식 1.

( b )


gG 를 이용해서 지구의 질량을 구해야 한다면 식 1 을 사용할 수 있습니다.


식 2.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



( a )


지구의 반지름이 6400 km 이므로 지구의 둘레는 다음과 같습니다.


식 1.


지표 근처에서 인공위성이 90 분마다 지구를 한 바퀴 돌기 때문에, 인공위성의 선속력은 다음과 같습니다.


식 2.


이때 가속도의 크기는 다음과 같습니다.


식 3.


( b )


지구에서 달 까지의 거리가 지구 반지름의 60 배이므로 회전 반경은 384000 km 입니다.


그러므로 회전반경이 만드는 원의 둘레는 다음과 같습니다.


식 4.


28 일마다 지구를 한 반퀴 돌기 때문에, 달의 선속력은 다음과 같습니다.


식 5.


이 때 가속도의 크기는 다음과 같습니다.


식 6.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



그림 1.


용수철 길이가 원래 L 이고 m 인 물체를 매달고 운동했을 때 L 만큼 늘었났다고 했습니다. 이 때 용수철 상수는 k 라 했으므로 용수철이 받고 있는 힘의 크기는 다음과 같습니다.


식 1.


일단 구심력의 크기는 다음과 같습니다.


식 2.


용수철이 늘어난 것은 원심력 때문입니다. 그런데 원심력과 구심력의 크기는 동일합니다. 그러므로 다음과 같이 속력을 구할 수 있습니다.


식 3

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



그림1.


v0 방향으로 던진 공의 중력방향에 대한 수평성분과 수직성분은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.


식 1.


이것을 시간의 함수로 나타내도록 하겠습니다.


수평방향으로는 아무런 힘을 받고 있지 않기 때문에( 저항이 없다고 가정하면 ) 등속도 운동을 하며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.


식 2.


수직방향으로는 중력의 영향을 받습니다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.


식 3.

이제 공의 위치는 각각을 적분한 것입니다. 적분 과정은 생략하도록 하겠습니다.


식 3.


( a )


최고점에 도달하는 시간을 T 라 하면 그 때의 속도는 0 이 되어야 합니다. 그러므로 식 3 으로부터 다음과 같이 계산할 수 있습니다.


식 4.


식 1 의 값을 식 4 에 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.


식 5.


( b )


던져진 공이 지표면에 도달하려면 위치값이 0 이어야 합니다.


땅에 떨어진 시간을 K 라 하면 식 3 에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있습니다.


식 6.


( c )


공이 땅에 떨어지는 시간은 2T 이므로 이것을 식 3 에 넣으면 다음과 같습니다.


식 7.


( d )


최대 도달 거리인 R 에서 시간은 2T 입니다. 식 7 에 의해서 R 은 다음과 같이 결정되어야 합니다.


식 8.


그런데 문제에서는 식 9 가 됨을 증명하라고 하네요.


식 9.


아마도 45 도로 던졌을 때 최대 도달거리이므로 sin(2*45) = 1 이니까 최대 도달거리가 식 9 라고 하는 것 같습니다.


이 문제를 제대로 이해하게 하려면 다음과 같이 문제를 냈어야 할 것 같네요.


공을 어떤 각도로 던져야 가장 멀리 나가는가? 그리고 그 때의 거리는 얼마인가?


혹은 다음과 같이 냈어야 할 것 같네요.


포물선 운동을 통해서 도달할 수 있는 최대 수평거리 R 은 얼마인가?


주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



( a )


공을 던졌을 때 수평으로는 등속도 운동을 하게 됩니다. 그러므로 공의 빠르기는 계속 5 m/s 입니다. 15 m 떨어진 곳까지 도달하는데 걸리는 시간은 다음과 같습니다.


식 1.


( b )

공이 나무까지 도달하는데 걸리는 시간은 3 초이므로, 원숭이는 3 초동안 자유낙하를 한 것입니다.


가속도는 g 이므로, 자유낙하한 거리는 속도를 적분해서 구할 수 있습니다.


v(t) = gt 이므로 이를 부정적분해 원함수 V(t) 를 구하면 다음과 같습니다. 식 2 에서 정지상태에서 자유낙하 운동을 했으니 V(0) 은 0 입니다.


식 2.


식 2 의 원함수를 이용해 0 초부터 3 초까지를 정적분하면, 이동 거리는 다음과 같습니다.



식 3.


주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



수평으로 던진 공의 이동거리는 매시간 간격에서 동일합니다. 


왜냐하면 공기저항을 무시한다고 가정하면 가속도는 변하지 않으므로 동일한 속도를 유지하기 때문입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.




그림 1.


( a )

일단 밧줄의 질량을 0 이라고 가정합니다. a 의 방향을 + 라 할 때, 장력은 다음과 같이 계산됩니다.


식 1.


( b )

엘리베이터가 가속하고 있을 때, 바닥이 가속도만큼 사람을 밀기 때문에 무게는 다음과 같습니다.


식 2.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



각도 θ 로 경사진 빗변에 질량이 m 인 물체가 놓여 있고, 물체와 면 사이의 운동마찰계수는 μ 이다. 빗변과 평행하게 크기가 F 인 힘을 가하여 물체가 빗면 위쪽으로 일정한 빠르기로 미끄러져 올라가고 있다고 하자. 힘 F 의 세기를 m, θ, μ 와 중력가속도 g 로 나타내라.


그림 1.


물체에는 항상 중력이 주어집니다. 그러므로 자동으로 경사면을 따라서 아래로 내려가게 되는데요, 이 때 아래로 내려가는 수평방향의 힘을 FH 라 하고 마찰력을 f 라 하면 다음과 같습니다.


식 1.


그런데 문제에서는 F 인 힘을 가해 일정한 빠르기( 속도 )로 물체가 올라가고 있다고 했습니다. 이 말은 가속도가 0 이라는 의미입니다. 즉 중력에 의해서 적용되는 힘들의 합력이 F 와 같아야 합니다. 그런데 여기에서 문제가 하나 있는데요 마찰력이 어디에 적용되느냐입니다.


현재 끌려 올라가고 있기 때문에 마찰력은 F 와 반대 방향으로 적용됩니다. F 에서 마찰력을 뺀 것이 FH 와 동일해야 합니다.


식 2.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



그림 1.


사람이 미끌어지지 않고 물체를 끌려면, 물체가 사람을 끄는 힘보다 정지마찰력이 커야만 합니다.


일단 물체의 마찰력을 구해 보도록 하겠습니다. 물체를 A 라 하고 사람을 B 라고 합시다.


식 1.


사람의 마찰력을 계산하면 다음과 같습니다.


식 2.


작용과 반작용의 법칙에 의해서 사람이 물체를 끌면 물체도 사람을 끌게 됩니다. 그런데 사람이 끌려 가지 않으려면 사람의 마찰력이 물체의 마찰력보다는 크거나 같아야 합니다.


식 3.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



질량이 각각 5.0 kg 과 2.0 kg 인 두 물체 A, B 가 질량이 무시되는 막대로 연결되어 경사각이 30 도인 경사면에서 미끄러져 내려오고 있다( 물체 A 가 더 높은 곳에 있음 ). 물체와 경사면 사이의 운동마찰계수는 μ = 0.2 이다.


(a) 두 물체의 가속도를 구하라.


(b) 막대에 작용하는 장력 세기를 구하라.


(c) 질량이 5 kg 인 물체와 경사면 사이의 운동마찰계수가 μ = 0.3 으로 늘어난다면, 막대에 작용하는 장력의 세기는 얼마인가?


그림 1.


다음과 같이 변수를 정의합니다.

경사면에서 운동하는 물체의 알짜힘은 다음과 같이 정의됩니다. μ 는 마찰계수입니다.

식 1.


두 물체가 질량없는 막대로 연결되어 있기 때문에 하나의 물체로 취급한다면 알짜힘은 다음과 같습니다.


식 2.


식 2 와 뉴턴 운동 2 법칙에 의해 가속도를 구할 수 있습니다.

식 3.


하지만 (c) 에서 마찰계수가 다른 경우에 대한 문제가 나오므로 이렇게 풀기 보다는 작용하는 힘을 모두 더해서 푸는 것이 좋습니다.


식 4.


( a )


이제 실제로 식 4 에 값을 대입해서 가속도를 구해보도록 하겠습니다. 그런데 중력 가속도의 크기가 주어져 있지 않으므로 10 으로 놓고 계산하도록 하겠습니다.


식 5.


하지만 해답은 3.33 이더군요. 이건 해답이 오답인 것 같습니다.


( b )


막대에 작용하는 장력을 B 의 입장에서 구해보도록 하겠습니다.


B 에 작용하는 힘은 B 의 알짜힘에서 막대에 의해 작용하는 장력을 뺀 것이라 할 수 있습니다. 그러므로 아래 식이 성립합니다.


식 6.


이제 실제 값들을 대입해 보도록 하겠습니다.


식 7.


장력의 크기는 0 입니다. 두 물체에 작용하는 마찰계수가 동일하고 등가속도 및 등속 운동을 하고 있기 때문에 중간에 끼어 있는 막대에 장력이 작용하고 있지 않는 것이 정상이겠죠.


( c )


그런데 A 에 작용하는 마찰계수가 달라진다면 어떻게 될까요?


이 경우에는 가속도부터 달라지게 됩니다. 여기에서부터 다시 시작해야죠.


식 4 에 변경된 값들을 대입해서 가속도를 구해보겠습니다.


식 8.


다시 식 6 에다가 새로운 가속도와 함께 값을 대입해 보겠습니다.


식 9.


그런데 해답은 1.2 더군요. 비슷한 값이 나오지만 가속도 계산식부터가 다르므로 이것도 해답이 오답으로 보입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



질량 m 인 밧줄로 질량 M 인 물체 끌기. 특별한 조건이 없으므로 마찰력은 0 이라고 가정합니다.


( a )


밧줄과 물체를 포함한 가속도 a 는 다음과 같습니다.


식 1.


그러므로 장력 T 는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.


식 2.


( b )


줄을 두 개로 쪼개면 각 줄의 질량은 m/2 입니다.


그러므로 장력 T 는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.


식 3.




주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



그림 1.


( a )


물체의 가속도를 a 라 합시다. 그러면 다음과 같은 가속도를 구할 수 있습니다.


식 1.


그런데 질량 M 인 물체에는 마찰계수 μ 가 적용되고 있습니다( 특별한 조건이 주어지지 않았으므로 줄과 도르레의 질량은 0 이고  μ 는 운동마찰계수라 가정합니다 ).


그렇다면 질량 M 인 물체는 순순히 따라 오지 않겠죠. 이것의 마찰력 f 는 다음과 같습니다.


식 2.



그러므로 알짜힘에 의한 가속도는 다음과 같습니다.


식 3.


( b )


줄의 질량이 0 이라 가정했으므로 그림 1 의 T0 과 T1 은 동일합니다. 그래서 다음과 같이 장력을 구할 수 있습니다.


식 4.

그런데 해답은 아래와 같습니다.


식 5.


아무래도 해답이 오답인 것 같다고 생각했는데, 물잘알 햄이 해답이 맞다고 하는군요.


그림 2.


장력에서 마찰력만큼을 뺀 것이 질량 M 인 물체에 적용되는 알짜힘이라는 가정에서 푼 것 같습니다. 하지만 조금 이해가 안 가네요. 저는 m 을 기준으로 풀었고 햄은 M 을 기준으로 풀었는데, 줄 양끝에서 장력이 동일해야 한다고 생각하는데 이에 어긋납니다.


햄과 이야기를 해 보니 알짜힘을 가지고 계산한 것이 잘못이었습니다. F 가 m 에 작용하는 힘, Fn 이 전체에 작용하는 알짜힘, Fnm 을 m 에 작용하는 알짜힘이라고 했을 때, 장력을 계산하려면 F = Fnm + T 라는 형태로 계산해야 하는데, Fn = T + Fnm 라는 형태가 되도록 계산하고 있었던 것이 문제였습니니다.


실제로 햄이 m 을 기준으로 장력을 계산해서 보여줬는데 그림 2 에서와 동일한 결과가 나왔습니다.


그림 3.


주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



문제에서 별 이야기가 없어서, 끈의 질량은 0 이고 바닥과의 마찰력은 0 이라고 가정합니다.


세 물체의 가속도를 구합니다.


식 2.


문제 ( a ) 의 장력을 Ta 라 하고 문제 ( b ) 의 장력을 Tb 라고 합시다. 그러면 각 장력은 다음과 같습니다.


식 3.


그런데 답이 오답입니다. 반대로 A 쪽에서 50 N 으로 당기고 있다고 가정해 봅시다.


그러면 답은 다음과 같습니다.


식 4.


어떻게 해도 일치하는 답은 없습니다. 문제의 답은 다음과 같습니다.


식 5.


이 경우에는 해답이 오답이라고 할 수 밖에 없을 것 같네요.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



( a )


14 N 의 힘이 A 에 작용하면 다음과 같은 관계식을 세울 수 있습니다. A -> B 방향이 + 라 가정합니다.


식 1.


A 를 움직이는데 10 N 이 필요하므로, B 를 미는 힘은 4 N 입니다.


( b )


방향만 달랐지 결국에는 식 1 의 가속도와 같은 크기를 가집니다.


그러므로 B 를 움직이는데 4 N 이 필요하므로 A 를 미는 힘은 10 N 입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



그림 1.


물체의 질량을 m 이라고 합시다.


( a )

경사면 방향으로 진행하고 있는 물체의 초기 속도 v  는 중력의 경사면에 대한 수평성분 F 에 의해 감쇠됩니다. 중력의 경사면에 대한 수평성분은 수직항력 N 과 반대방향의 힘입니다.



그림 2.


앞에서 이런 문제를 많이 풀었기 때문에 FN 을 구하는 방법에 대한 자세한 설명은 생략합니다.


식 1.


F 의 가속도는 gsin(θ) 이므로 시간 x 에 대한 속도 크기 함수 v(x) 는 다음과 같습니다.


식 2.


시간 t 에 속도의 크기가 0 이 된다고 하면 t 는 다음과 같습니다. 즉 t 일 때 최고점에 도달합니다.


식 3.


v(x) 를 부정적분해 거리함수 D(x) 를 구하면 다음과 같습니다.


식 4.


시간 0 부터 t 까지 정적분하고 나서, 식 3 에서 구한 시간 t 값을 대입하면, 최고점까지의 이동거리인 d 가 됩니다.


식 5.


문제에서는 높이 h 를 구하라고 했기 때문에 삼각함수를 이용해 문제를 풀수 있습니다. 경사면 이동거리가 d 이므로, sin(θ) = h / d 입니다. 즉 h 는 다음과 같습니다.


식 6.


( b )


마찰력이 존재하고 마찰계수가 μ 라면 마찰력 f 의 크기는 다음과 같습니다.


식 7.


문제에서는 정지마찰력에 대한 언급을 하고 있지 않습니다. 그래서 그냥 상수적으로 작용하는 운동마찰력을 적용해서 계산하기로 했습니다.


자 그러면 F 의 크기가 달라지며 이로부터 가속도의 크기를 구할 수 있습니다.


식 8.


이제 시간 x 에서의 속도의 크기 함수 v(x) 는 다음과 같습니다.


식 9.


시간 t 에 최고점에 도달한다고 가정하면 그 때 속도의 크기는 0 입니다.


식 10.


v(x) 를 부정적분해 거리함수 D(x) 를 구하면 다음과 같습니다.


식 11.


시간 0 부터 t 까지 정적분하고 나서, 식 10 에서 구한 시간 t 값을 대입하면, 최고점까지의 이동거리인 d 가 됩니다.


식 12.


문제에서는 높이 h 를 구하라고 했기 때문에 삼각함수를 이용해 문제를 풀수 있습니다. 경사면 이동거리가 d 이므로, sin(θ) = h / d 입니다. 즉 h 는 다음과 같습니다.


식 13.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



공기 저항력의 세기는 다음과 같이 정의됩니다( 책 내용 ). 


식 1.


그리고 속도가 매우 빠르지 않는 이상에는 b2 를 무시할 수 있다고 합니다.  b2 를 무시하지 않으면 계산이 복잡해집니다. 그래서 처음에는 b2 를 0 이라 하고 계산을 했었는데, 답이 다르더군요. 출제자는 그냥  b2 에 대해 설명을 하고 싶었던 것 같습니다. 


종단속도라는 것은 가속도가 0 인 상태가 됨을 의미합니다. 즉 |f| = |F| 가 되어야 합니다.


식 3.


일원 이차 방정식의 형태를 띄고 있으므로, 속도의 크기를 x 라 하고 이차 방정식의 근의 공식을 이용해 풀어 보겠습니다.


식 4.


우리가 식 3 으로부터 알고 있는 값들을 식 4 에  대입하면 결과는 다음과 같습니다.


식 5.


속도의 크기가 음수일 수는 없으므로 음수가 나오는 경우를 배제하면 결과는 다음과 같습니다.


식 6.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.




( a )

  • 1 : 물체 A 의 중력.
  • 2 : 물체 A 를 버티는 B 의 수직항력.
  • 3 : 물체 A, B 의 중력.
  • 4 : 물체 A, B 를 버티는 C 의 수직항력.
  • 5 : 물체 A, B, C 의 중력.
  • 6 : 물체 A, B, C 를 버티는 땅의 수직항력.


( b )


B 는 A 를 F2 만큼의 힘으로 받치고 있고, C 는 B 를 F4 만큼의 힘으로 받치고 있습니다.


( C )


C 가 갑자기 없어져 버리는 상황에서, A 의 중력은 B 의 수직항력에 의해 상쇄되어 0 이고, B 는 순수하게 중력 가속도 g 를 가질 것 같이 보입니다.


하지만 C 가 없어지므로 A 와 B 는 자유낙하 운동을 하게 됩니다. 하지만 질량과는 관계없이 가속도는 g 로 일정합니다. 


공기저항이 없다고 가정하면 각 물체에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.


주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.



갑자기 특정 계 내에서의 복합적인 운동을 다루는 문제를 내서 뼈를 때리네요 ㅠㅠ.


( a )


엘리베이터의 질량을 M 이라고 하겠습니다.


그림 1.


사람은 엘리베이터 내부에서 중력의 영향을 받아 mg 로 운동합니다. 그런데 엘리베이터 바닥에서는 반작용으로써 수직항력 N 이 만들어집니다. 그래서 사람이 바닥을 뚫고 가지 못합니다( 엘리베이터 바닥이 종이라서 사람이 뚫고 지나갔다면 이야기가 다릅니다. OTL ).


즉 엘리베이터가 멈워 있을 때의 수직항력 N 은 -mg 입니다.


그런데 엘리베이터가 일정한 가속도로 위로 올라가게 되면, 운동방정식은 다음과 같습니다. 가속도 a0 가 얼마인지는 모르겠지만 적어도 중력가속도 g 보다는 크겠죠.


식 1.


해답에서는 N - mg = ma 로 표현하고 있습니다.


( b )


가속을 하면 엘리베이터는 내부에 탄 사람을 Ma0 으로 밀고 있으므로 사람에게 작용하는 수직항력은 -Ma0 입니다. 


그림 2.


이에 원래작용하는 중력 mg 를 더하면 몸무게 W 는 다음과 같습니다.


식 2.


그런데 엘리베이터의 질량이 영향을 주는 것이 좀 과하지 않냐는 생각이 들었습니다. 그래서 검색을 해 보니 단순하게 관성으로 설명을 하더군요; [ 힘과 에너지-02 운동의 법칙 ( 관성의 법칙 ) ].


이에 의하면 결과는 다음과 같습니다.


식 3.


좀 이해가 안 가는군요...


만약 공중부양을 하는 질량 M 인 물체가 나를 위로 밀어 올리고 있다고 가정하면, 그 물체가 나를 위로 미는 힘은 F = Ma 일텐데 말이죠. 그럼 그것이 나를 밀어서 발생하는 반작용은 F = -Ma 일테구 말이죠.


[ Normal force in an elevator ] 동영상을 보니 ( 한글 자막 있습니다 ) 사람에게 작용하는 운동방정식으로만 수직항력을 계산하는군요. 공식으로만 보면 충분히 이해는 갑니다. 


하지만 저는 여전히 "엘리베이터가 사람을 밀어내는 힘" 이 어떻게 작용하는 건지 이해가 안 가는군요.


이 부분에 대해서 물잘알 햄짱에게 물어봤습니다. 그랬더니 다음과 같이 이야기하는군요.


( 클릭하면 커집니다 )

그림 3.


그리고 이 상황은 일정한 속도로 가속운동을 하고 있기 때문에 엘리베이터 질량은 무시하고 알짜힘만 가지고 단순화해서 생각할 수 있다고 합니다.


그림 4.

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