[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 물음 4-9

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

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( a )

수직면과 경사면의 사이각을 θ 라고 합시다. 진행 방향은 중력 벡터로부터 θ 만큼 반시계방향으로 회전한 벡터입니다. 혹은 중력벡터는 진행방향으로부터 θ 만큼 시계방향으로 회전한 벡터입니다.

그림 1.

(+) 방향으로 작용하는 힘의 단위벡터를 F 라고 해 보죠. 그러면 합력은 mg + N = xF 입니다. 이는 mg 벡터를 F 벡터에 사영한 것과 같죠.

그림 2.

[ 내적 ] 을 이용하면 사영한 벡터의 길이를 알 수 있습니다.

그림 3.

이 경우 |A| = m|g| 이므로, 사영한 길이는 m|g|cosθ 입니다.

이를 어떤 벡터가  θ 만큼 회전했을 때의 위치를 구하는 매개변수 공식( parametric equation )으로부터 구할 수도 있습니다.

그림 4.

r = m|g| 이므로 사영한 길이는 m|g|cosθ 입니다.

그런데 문제에서는 sin 을 사용해서 답을 구하라고 되어 있군요. 이 경우에는 바닥과 경사면 사이를 θ 라 정의하고 계산해야 합니다. 원래 우리가 θ 로 잡았던 곳이 90 - θ 가 됩니다.

그림 5.

r = m|g| 이므로 사영한 길이는 m|g|cos( 90 - θ ) 입니다.

[ 삼각함수 ] 에 의하면 cos( 90 - θ ) = sinθ 이므로, 사영한 길이는 m|g|sinθ 입니다.

( b )

( a ) 를 통해 우리는 F 의 길이가 m|g|sinθ 라는 것을 알게 되었습니다. 즉 F = mg + N = m|g|sinθ 라는 의미입니다.

뉴턴의 운동 2 법칙에서는 F = ma 라 정의하고 있기 때문에, F = ma = m|g|sinθ 이고, 이로부터 a = |g|sinθ 임을 알 수 있습니다.