주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림1.

v₀ 방향으로 던진 공의 중력방향에 대한 수평성분과 수직성분은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

식 1.

이것을 시간의 함수로 나타내도록 하겠습니다.

수평방향으로는 아무런 힘을 받고 있지 않기 때문에( 저항이 없다고 가정하면 ) 등속도 운동을 하며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

식 2.

수직방향으로는 중력의 영향을 받습니다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

식 3.

이제 공의 위치는 각각을 적분한 것입니다. 적분 과정은 생략하도록 하겠습니다.

식 3.

( a )

최고점에 도달하는 시간을 T 라 하면 그 때의 속도는 0 이 되어야 합니다. 그러므로 식 3 으로부터 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

식 4.

식 1 의 값을 식 4 에 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

식 5.

( b )

던져진 공이 지표면에 도달하려면 위치값이 0 이어야 합니다.

땅에 떨어진 시간을 K 라 하면 식 3 에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

식 6.

( c )

공이 땅에 떨어지는 시간은 2T 이므로 이것을 식 3 에 넣으면 다음과 같습니다.

식 7.

( d )

최대 도달 거리인 R 에서 시간은 2T 입니다. 식 7 에 의해서 R 은 다음과 같이 결정되어야 합니다.

식 8.

그런데 문제에서는 식 9 가 됨을 증명하라고 하네요.

식 9.

아마도 45 도로 던졌을 때 최대 도달거리이므로 sin(2*45) = 1 이니까 최대 도달거리가 식 9 라고 하는 것 같습니다.

이 문제를 제대로 이해하게 하려면 다음과 같이 문제를 냈어야 할 것 같네요.

공을 어떤 각도로 던져야 가장 멀리 나가는가? 그리고 그 때의 거리는 얼마인가?

혹은 다음과 같이 냈어야 할 것 같네요.

포물선 운동을 통해서 도달할 수 있는 최대 수평거리 R 은 얼마인가?

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

( a )

공을 던졌을 때 수평으로는 등속도 운동을 하게 됩니다. 그러므로 공의 빠르기는 계속 5 m/s 입니다. 15 m 떨어진 곳까지 도달하는데 걸리는 시간은 다음과 같습니다.

식 1.

( b )

공이 나무까지 도달하는데 걸리는 시간은 3 초이므로, 원숭이는 3 초동안 자유낙하를 한 것입니다.

가속도는 g 이므로, 자유낙하한 거리는 속도를 적분해서 구할 수 있습니다.

v(t) = gt 이므로 이를 부정적분해 원함수 V(t) 를 구하면 다음과 같습니다. 식 2 에서 정지상태에서 자유낙하 운동을 했으니 V(0) 은 0 입니다.

식 2.

식 2 의 원함수를 이용해 0 초부터 3 초까지를 정적분하면, 이동 거리는 다음과 같습니다.

식 3.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

수평으로 던진 공의 이동거리는 매시간 간격에서 동일합니다. 

왜냐하면 공기저항을 무시한다고 가정하면 가속도는 변하지 않으므로 동일한 속도를 유지하기 때문입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림 1.

( a )

일단 밧줄의 질량을 0 이라고 가정합니다. a 의 방향을 + 라 할 때, 장력은 다음과 같이 계산됩니다.

식 1.

( b )

엘리베이터가 가속하고 있을 때, 바닥이 가속도만큼 사람을 밀기 때문에 무게는 다음과 같습니다.

식 2.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림 1.

물체에는 항상 중력이 주어집니다. 그러므로 자동으로 경사면을 따라서 아래로 내려가게 되는데요, 이 때 아래로 내려가는 수평방향의 힘을 F_H 라 하고 마찰력을 f 라 하면 다음과 같습니다.

식 1.

그런데 문제에서는 F 인 힘을 가해 일정한 빠르기( 속도 )로 물체가 올라가고 있다고 했습니다. 이 말은 가속도가 0 이라는 의미입니다. 즉 중력에 의해서 적용되는 힘들의 합력이 F 와 같아야 합니다. 그런데 여기에서 문제가 하나 있는데요 마찰력이 어디에 적용되느냐입니다.

현재 끌려 올라가고 있기 때문에 마찰력은 F 와 반대 방향으로 적용됩니다. F 에서 마찰력을 뺀 것이 F_H 와 동일해야 합니다.

식 2.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림 1.

사람이 미끌어지지 않고 물체를 끌려면, 물체가 사람을 끄는 힘보다 정지마찰력이 커야만 합니다.

일단 물체의 마찰력을 구해 보도록 하겠습니다. 물체를 A 라 하고 사람을 B 라고 합시다.

식 1.

사람의 마찰력을 계산하면 다음과 같습니다.

식 2.

작용과 반작용의 법칙에 의해서 사람이 물체를 끌면 물체도 사람을 끌게 됩니다. 그런데 사람이 끌려 가지 않으려면 사람의 마찰력이 물체의 마찰력보다는 크거나 같아야 합니다.

식 3.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림 1.

하지만 (c) 에서 마찰계수가 다른 경우에 대한 문제가 나오므로 이렇게 풀기 보다는 작용하는 힘을 모두 더해서 푸는 것이 좋습니다.

식 4.

( a )

이제 실제로 식 4 에 값을 대입해서 가속도를 구해보도록 하겠습니다. 그런데 중력 가속도의 크기가 주어져 있지 않으므로 10 으로 놓고 계산하도록 하겠습니다.

식 5.

하지만 해답은 3.33 이더군요. 이건 해답이 오답인 것 같습니다.

( b )

막대에 작용하는 장력을 B 의 입장에서 구해보도록 하겠습니다.

B 에 작용하는 힘은 B 의 알짜힘에서 막대에 의해 작용하는 장력을 뺀 것이라 할 수 있습니다. 그러므로 아래 식이 성립합니다.

식 6.

이제 실제 값들을 대입해 보도록 하겠습니다.

식 7.

장력의 크기는 0 입니다. 두 물체에 작용하는 마찰계수가 동일하고 등가속도 및 등속 운동을 하고 있기 때문에 중간에 끼어 있는 막대에 장력이 작용하고 있지 않는 것이 정상이겠죠.

( c )

그런데 A 에 작용하는 마찰계수가 달라진다면 어떻게 될까요?

이 경우에는 가속도부터 달라지게 됩니다. 여기에서부터 다시 시작해야죠.

식 4 에 변경된 값들을 대입해서 가속도를 구해보겠습니다.

식 8.

다시 식 6 에다가 새로운 가속도와 함께 값을 대입해 보겠습니다.

식 9.

그런데 해답은 1.2 더군요. 비슷한 값이 나오지만 가속도 계산식부터가 다르므로 이것도 해답이 오답으로 보입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

질량 m 인 밧줄로 질량 M 인 물체 끌기. 특별한 조건이 없으므로 마찰력은 0 이라고 가정합니다.

( a )

밧줄과 물체를 포함한 가속도 a 는 다음과 같습니다.

식 1.

그러므로 장력 T 는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

식 2.

( b )

줄을 두 개로 쪼개면 각 줄의 질량은 m/2 입니다.

그러므로 장력 T 는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

식 3.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림 1.

( a )

물체의 가속도를 a 라 합시다. 그러면 다음과 같은 가속도를 구할 수 있습니다.

식 1.

그런데 질량 M 인 물체에는 마찰계수 μ 가 적용되고 있습니다( 특별한 조건이 주어지지 않았으므로 줄과 도르레의 질량은 0 이고  μ 는 운동마찰계수라 가정합니다 ).

그렇다면 질량 M 인 물체는 순순히 따라 오지 않겠죠. 이것의 마찰력 f 는 다음과 같습니다.

식 2.

그러므로 알짜힘에 의한 가속도는 다음과 같습니다.

식 3.

( b )

줄의 질량이 0 이라 가정했으므로 그림 1 의 T₀ 과 T₁ 은 동일합니다. 그래서 다음과 같이 장력을 구할 수 있습니다.

식 4.

그런데 해답은 아래와 같습니다.

식 5.

아무래도 해답이 오답인 것 같다고 생각했는데, 물잘알 햄이 해답이 맞다고 하는군요.

그림 2.

장력에서 마찰력만큼을 뺀 것이 질량 M 인 물체에 적용되는 알짜힘이라는 가정에서 푼 것 같습니다. 하지만 조금 이해가 안 가네요. 저는 m 을 기준으로 풀었고 햄은 M 을 기준으로 풀었는데, 줄 양끝에서 장력이 동일해야 한다고 생각하는데 이에 어긋납니다.

햄과 이야기를 해 보니 알짜힘을 가지고 계산한 것이 잘못이었습니다. F 가 m 에 작용하는 힘, Fn 이 전체에 작용하는 알짜힘, Fnm 을 m 에 작용하는 알짜힘이라고 했을 때, 장력을 계산하려면 F = Fnm + T 라는 형태로 계산해야 하는데, Fn = T + Fnm 라는 형태가 되도록 계산하고 있었던 것이 문제였습니니다.

실제로 햄이 m 을 기준으로 장력을 계산해서 보여줬는데 그림 2 에서와 동일한 결과가 나왔습니다.

그림 3.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

문제에서 별 이야기가 없어서, 끈의 질량은 0 이고 바닥과의 마찰력은 0 이라고 가정합니다.

세 물체의 가속도를 구합니다.

식 2.

문제 ( a ) 의 장력을 T_a 라 하고 문제 ( b ) 의 장력을 T_b 라고 합시다. 그러면 각 장력은 다음과 같습니다.

식 3.

그런데 답이 오답입니다. 반대로 A 쪽에서 50 N 으로 당기고 있다고 가정해 봅시다.

그러면 답은 다음과 같습니다.

식 4.

어떻게 해도 일치하는 답은 없습니다. 문제의 답은 다음과 같습니다.

식 5.

이 경우에는 해답이 오답이라고 할 수 밖에 없을 것 같네요.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

( a )

14 N 의 힘이 A 에 작용하면 다음과 같은 관계식을 세울 수 있습니다. A -> B 방향이 + 라 가정합니다.

식 1.

A 를 움직이는데 10 N 이 필요하므로, B 를 미는 힘은 4 N 입니다.

( b )

방향만 달랐지 결국에는 식 1 의 가속도와 같은 크기를 가집니다.

그러므로 B 를 움직이는데 4 N 이 필요하므로 A 를 미는 힘은 10 N 입니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

그림 1.

물체의 질량을 m 이라고 합시다.

( a )

경사면 방향으로 진행하고 있는 물체의 초기 속도 v  는 중력의 경사면에 대한 수평성분 F 에 의해 감쇠됩니다. 중력의 경사면에 대한 수평성분은 수직항력 N 과 반대방향의 힘입니다.

그림 2.

앞에서 이런 문제를 많이 풀었기 때문에 F 와 N 을 구하는 방법에 대한 자세한 설명은 생략합니다.

식 1.

F 의 가속도는 gsin(θ) 이므로 시간 x 에 대한 속도 크기 함수 v(x) 는 다음과 같습니다.

식 2.

시간 t 에 속도의 크기가 0 이 된다고 하면 t 는 다음과 같습니다. 즉 t 일 때 최고점에 도달합니다.

식 3.

v(x) 를 부정적분해 거리함수 D(x) 를 구하면 다음과 같습니다.

식 4.

시간 0 부터 t 까지 정적분하고 나서, 식 3 에서 구한 시간 t 값을 대입하면, 최고점까지의 이동거리인 d 가 됩니다.

식 5.

문제에서는 높이 h 를 구하라고 했기 때문에 삼각함수를 이용해 문제를 풀수 있습니다. 경사면 이동거리가 d 이므로, sin(θ) = h / d 입니다. 즉 h 는 다음과 같습니다.

식 6.

( b )

마찰력이 존재하고 마찰계수가 μ 라면 마찰력 f 의 크기는 다음과 같습니다.

식 7.

문제에서는 정지마찰력에 대한 언급을 하고 있지 않습니다. 그래서 그냥 상수적으로 작용하는 운동마찰력을 적용해서 계산하기로 했습니다.

자 그러면 F 의 크기가 달라지며 이로부터 가속도의 크기를 구할 수 있습니다.

식 8.

이제 시간 x 에서의 속도의 크기 함수 v(x) 는 다음과 같습니다.

식 9.

시간 t 에 최고점에 도달한다고 가정하면 그 때 속도의 크기는 0 입니다.

식 10.

v(x) 를 부정적분해 거리함수 D(x) 를 구하면 다음과 같습니다.

식 11.

시간 0 부터 t 까지 정적분하고 나서, 식 10 에서 구한 시간 t 값을 대입하면, 최고점까지의 이동거리인 d 가 됩니다.

식 12.

문제에서는 높이 h 를 구하라고 했기 때문에 삼각함수를 이용해 문제를 풀수 있습니다. 경사면 이동거리가 d 이므로, sin(θ) = h / d 입니다. 즉 h 는 다음과 같습니다.

식 13.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

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경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

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공기 저항력의 세기는 다음과 같이 정의됩니다( 책 내용 ). 

식 1.

그리고 속도가 매우 빠르지 않는 이상에는 b₂ 를 무시할 수 있다고 합니다.  b₂ 를 무시하지 않으면 계산이 복잡해집니다. 그래서 처음에는 b₂ 를 0 이라 하고 계산을 했었는데, 답이 다르더군요. 출제자는 그냥  b₂ 에 대해 설명을 하고 싶었던 것 같습니다. 

종단속도라는 것은 가속도가 0 인 상태가 됨을 의미합니다. 즉 |f| = |F| 가 되어야 합니다.

식 3.

일원 이차 방정식의 형태를 띄고 있으므로, 속도의 크기를 x 라 하고 이차 방정식의 근의 공식을 이용해 풀어 보겠습니다.

식 4.

우리가 식 3 으로부터 알고 있는 값들을 식 4 에  대입하면 결과는 다음과 같습니다.

식 5.

속도의 크기가 음수일 수는 없으므로 음수가 나오는 경우를 배제하면 결과는 다음과 같습니다.

식 6.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

( a )

• 1 : 물체 A 의 중력.
• 2 : 물체 A 를 버티는 B 의 수직항력.
• 3 : 물체 A, B 의 중력.
• 4 : 물체 A, B 를 버티는 C 의 수직항력.
• 5 : 물체 A, B, C 의 중력.
• 6 : 물체 A, B, C 를 버티는 땅의 수직항력.

( b )

B 는 A 를 F₂ 만큼의 힘으로 받치고 있고, C 는 B 를 F₄ 만큼의 힘으로 받치고 있습니다.

( C )

C 가 갑자기 없어져 버리는 상황에서, A 의 중력은 B 의 수직항력에 의해 상쇄되어 0 이고, B 는 순수하게 중력 가속도 g 를 가질 것 같이 보입니다.

하지만 C 가 없어지므로 A 와 B 는 자유낙하 운동을 하게 됩니다. 하지만 질량과는 관계없이 가속도는 g 로 일정합니다. 

공기저항이 없다고 가정하면 각 물체에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

갑자기 특정 계 내에서의 복합적인 운동을 다루는 문제를 내서 뼈를 때리네요 ㅠㅠ.

( a )

엘리베이터의 질량을 M 이라고 하겠습니다.

그림 1.

사람은 엘리베이터 내부에서 중력의 영향을 받아 mg 로 운동합니다. 그런데 엘리베이터 바닥에서는 반작용으로써 수직항력 N 이 만들어집니다. 그래서 사람이 바닥을 뚫고 가지 못합니다( 엘리베이터 바닥이 종이라서 사람이 뚫고 지나갔다면 이야기가 다릅니다. OTL ).

즉 엘리베이터가 멈워 있을 때의 수직항력 N 은 -mg 입니다.

그런데 엘리베이터가 일정한 가속도로 위로 올라가게 되면, 운동방정식은 다음과 같습니다. 가속도 a₀ 가 얼마인지는 모르겠지만 적어도 중력가속도 g 보다는 크겠죠.

식 1.

해답에서는 N - mg = ma 로 표현하고 있습니다.

( b )

가속을 하면 엘리베이터는 내부에 탄 사람을 Ma₀ 으로 밀고 있으므로 사람에게 작용하는 수직항력은 -Ma₀ 입니다. 

그림 2.

이에 원래작용하는 중력 mg 를 더하면 몸무게 W 는 다음과 같습니다.

식 2.

그런데 엘리베이터의 질량이 영향을 주는 것이 좀 과하지 않냐는 생각이 들었습니다. 그래서 검색을 해 보니 단순하게 관성으로 설명을 하더군요; [ 힘과 에너지-02 운동의 법칙 ( 관성의 법칙 ) ].

이에 의하면 결과는 다음과 같습니다.

식 3.

좀 이해가 안 가는군요...

만약 공중부양을 하는 질량 M 인 물체가 나를 위로 밀어 올리고 있다고 가정하면, 그 물체가 나를 위로 미는 힘은 F = Ma 일텐데 말이죠. 그럼 그것이 나를 밀어서 발생하는 반작용은 F = -Ma 일테구 말이죠.

[ Normal force in an elevator ] 동영상을 보니 ( 한글 자막 있습니다 ) 사람에게 작용하는 운동방정식으로만 수직항력을 계산하는군요. 공식으로만 보면 충분히 이해는 갑니다. 

하지만 저는 여전히 "엘리베이터가 사람을 밀어내는 힘" 이 어떻게 작용하는 건지 이해가 안 가는군요.

이 부분에 대해서 물잘알 햄짱에게 물어봤습니다. 그랬더니 다음과 같이 이야기하는군요.

( 클릭하면 커집니다 )

그림 3.

그리고 이 상황은 일정한 속도로 가속운동을 하고 있기 때문에 엘리베이터 질량은 무시하고 알짜힘만 가지고 단순화해서 생각할 수 있다고 합니다.

그림 4.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

문제에서 "걸쳐 있다" 는 표현을 두 물체가 움직이지 않고 있다는 의미로 이해하도록 하겠습니다.

줄과 도르레의 질량은 0 이라고 가정하겠습니다.  θ

마찰력은 없다고 가정하겠습니다. 마찰계수를 주지 않았기 때문입니다.

4-1

( a )

각각의 물체에 작용하는 수직항력의 크기는 물체끼리 이어주는 장력의 크기와는 관계가 없습니다. 단지 중력의 영향만을 받습니다.

그러므로 각각의 장력의 크기는 다음과 같습니다.

식 1.

( b )

두 물체에 작용하는 알짜힘( 경사면에 대한 중력의 수평방향 성분 )은 다음과 같습니다.

식 2.

물체가 움직이고 있지 않기 때문에, 각 줄의 끝에 작용하는 장력은 반대쪽에 있는 물체의 알짜힘과 같습니다. 그러므로 다음과 같은 관계를 가집니다.

식 3.

( c )

줄의 양 끝에 작용하는 장력의 크기가 동일할 때 물체가 멈춰있게 됩니다. 그래서 다음과 같은 식이 성립합니다.

식 4.

4-2

( a )

그림을 그려서 삼각형을 구성하는 요소들의 길이를 구하려다가 보니 그냥 답이 나와 버리네요. 길이를 어느쪽으로 잡느냐에 따라서 결과는 달라집니다.

그림 1.

삼각형의 꼭지점에서 수선을 내려서 수선의 길이를 구하다가 보면 그림 1 과 같은 결과를 얻습니다.

식 4 에 대입해 보면 질량비는 다음과 같습니다.

식 5.

해답에서는 그냥 3 / 5 이라고 표현합니다.

( b )

각각의 구슬의 질량을 m 이라 하면 각 구슬에 작용하는 알짜힘은 경사면에 따라 다음과 같습니다.

식 6.

그리고 구슬이 총 개수를 N 이라고 하고, 3 미터 경사면의 구슬 개수를 a 라고 하고 5 미터 경사면의 구슬 개수를 b 라고 합시다. 또한 각 경사면에 존재하는 구슬의 질량의 합을 M₁ 과 M₂ 라 합시다. 

그러면 식 5 처럼 열심히 풀면 결국엔 다음과 같은 결과가 나옵니다.

식 7.

해답에서는 그냥 A : B = 5 : 3 이라고 표현합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

질량 30 kg 인 사람이 질량 60 kg 인 사람을 마찰력 없는 얼음 위에서 60 N 으로 당기는 상황에서 운동 방정식을 써 보면 다음과 같습니다. 딱히 언급한게 없으므로 밧줄의 질량은 0 이라고 가정합니다.

밧줄의 양쪽 끝에 걸리는 장력은 동일하게 60 N 입니다.

그러므로 다음과 같은 운동방정식을 세울 수 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

종단속도는 다음과 같이 정의됩니다.

즉 b 와 g 는 상수이므로, m 에 비례합니다. 그러므로 10 kg 인 아이와 60 kg 인 어른의 종단속도는 6 배 차이가 납니다. 

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

속도가 일정하다는 것은 알짜힘이 0 이라는 의미가 됩니다. 다음과 같은 관계가 성립합니다.

식 1.

F = ma 로 정의되기 때문에 식 1 은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

식 2.

이제 모르는 변수들을 제거해 봅시다.

속도가 일정하다고 했기 때문에 여기에서 ||v|| = ||v₀|| 입니다. 그러므로 마찰력 상수 b 는 다음과 같습니다.

식 3.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

( a )

N 은 경사면을 누르는 중력 성분 중에서 경사면에 대한 수직성분인 -N 에 대한 반작용으로 발생하므로, mg 를 -N 에 사영한 벡터의 길이와 같습니다.

식 1.

( b )

임계각을 넘어 가면 아래로 미끄러지므로, 임계각에서 최대 정지 마찰력이 작용함을 알 수 있습니다. 그러므로 ||F|| = ||f|| 여야만 합니다.

일단 F 는 중력의 경사면에 대한 수평성분이므로 그 크기는 mg 를 F 에 사영한 벡터의 길이와 같습니다.

식 2.

그리고 f = μN 이므로 ||f|| 는 다음과 같습니다.

식 3.

||F|| = ||f|| 로부터 다음을 구할 수 있습니다.

식 4.

( c )

식 4 를 통해 μ 는 다음과 같이 구해집니다.

식 5.

주의 : 공부하면서 정리한 것이므로 잘못된 내용이 포함될 수 있습니다.

주의 : 이상하면 참고자료를 참조하세요.

부탁 : 잘못된 점이 있으면 지적해 주시면 감사하겠습니다.

저는 수직항력에 대해서 처음 공부할 때 매우 많은 혼란에 빠졌습니다. 일반적으로 평면에서 수직항력 N 은 중력과 같다고 봅니다.

하지만 경사면에 대해서 수직항력을 구하려고 하니 멘붕에 빠졌습니다. 저는 교조적으로 어떤 힘에는 뉴턴 3 법칙인 "작용과 반작용" 의 법칙이 성립해야 한다고 생각했기 때문에 경사면에서의 중력의 반작용 성분을 찾지 못해 한참 동안 고민했습니다.

그래서 물잘알인 친구 햄짱에게 이걸 어떻게 해결해야 하는지 물어 봤죠. 물알못인 저와 물잘알인 햄짱이 대화하다가 보니 엄청나게 핀트가 어긋난 대화가 오가기는 했지만 결국에는 정리를 했습니다.

하도 답답했는지 햄짱이 정리해서 카톡으로 보내주더군요.

아! 힘의 합력을 통해 알짜힘을 만들기도 하지만, 힘을 성분별로 나눠서 계산할 수도 있는 거였군요!!!

이렇게 되면 네 개의 힘이 작용-반작용 쌍을 가지게 되며 그림으로도 이해가 갑니다.

경사면에 수직인 중력 성분 <--> 수직항력

경사면에 수평인 중력 성분( 알짜힘 ) <--> 마찰력

[ 수험생 물리 ] 라는 사이트에 [ 수직항력 ] 이라는 것이 정리되어 있었는데, 거기에서는 다음과 같이 이야기하고 있습니다.

수직항력은 교과서에서 약 1/2~2/3 페이지 정도 소개하고 있습니다. 간단히 별거 아닌 것처럼 보이지만, 그렇게 조금밖에 설명을 안하니까 주의깊게 생각하지 않아 문제를 풀 때 복병이 됩니다. 쉬운듯 쉽지 않은 수직항력의 설명은 교과서의 한페이지도 안되는 곳에서 설명하는게 아니라, 문제풀이에서 설명하고 있기 때문에 곳곳에 흩어져 설명이 되어 있다고 생각해야합니다. 그래서, 흩어져 있는 내용을 여기에 한번 정리하려고 합니다.

( 중략 ... )

수직항력은 중력때문에 생기는 힘이 아닙니다.

수직항력의 크기는 알짜힘과 맞닿아 있는 상태의 운동상태를 고려해서 구합니다.

수직항력의 수직은 접촉한 면에 대해 수직을 말합니다.

출처 : [ 수직항력 ], 수험생 물리.

이제 그 사이트에서 하는 이야기가 이해가 되네요.

햄짱에게 감사하며 이 글을 정리합니다. 저같은 물알못에게 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

비행기 질량 : m

추친력 : F₀

이륙 속도 : v₀

가속도를 a 라 할 때, 뉴턴 운동 2 법칙에 의해 가속도는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

식 1.

시간 x 에서의 속도 함수는 v( x ) = ax 입니다. 별다른 조건이 없으니 등가속도 운동을 한다고 가정합니다.

이것을 부정적분해서 원함수 V( x ) 를 구하도록 하겠습니다.

식 2.

이제 원함수를 구했으니, 속도 함수를 정적분해 이동거리를 구합니다. t 는 이륙 속도가 되는 시간을 의미합니다.

식 3.

하지만, 여기에 우리가 알지 못하는 변수 a 와 t 가 들어 가 있습니다. 

사실 우리는 t 값을 알고 있습니다. 왜냐하면 v( t ) 는 이륙속도인 v₀ 이기 때문입니다.

식 4.

그리고 식 1 에 의해서 우리는 a 값도 알고 있습니다. 그러므로 이를 대입하면 다음과 같습니다.

식 5.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

평면에서 마찰력은 수직항력에 비례하게 됩니다. 운동 마찰계수를 μ 라 하고 수직항력을 N 이라 할 때 마찰력 f 는 다음과 같이 정의됩니다.

그러므로 질량 100 kg 인 물체에 대해서 10m/s² 의 중력가속도가 적용될 때의 수직항력은 중력의 크기와 같습니다. 

일단 문제에서는 등속도 운동을 한다고 가정했으므로 F 와 f 는 동일하다고 할 수 있습니다. 가속도가 0 이므로 힘의 합력이 0 인 것이죠. 

그러므로 마찰계수는 다음과 같이 계산됩니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

( a )

수직면과 경사면의 사이각을 θ 라고 합시다. 진행 방향은 중력 벡터로부터 θ 만큼 반시계방향으로 회전한 벡터입니다. 혹은 중력벡터는 진행방향으로부터 θ 만큼 시계방향으로 회전한 벡터입니다.

그림 1.

(+) 방향으로 작용하는 힘의 단위벡터를 F 라고 해 보죠. 그러면 합력은 mg + N = xF 입니다. 이는 mg 벡터를 F 벡터에 사영한 것과 같죠.

그림 2.

[ 내적 ] 을 이용하면 사영한 벡터의 길이를 알 수 있습니다.

그림 3.

이 경우 |A| = m|g| 이므로, 사영한 길이는 m|g|cosθ 입니다.

이를 어떤 벡터가  θ 만큼 회전했을 때의 위치를 구하는 매개변수 공식( parametric equation )으로부터 구할 수도 있습니다.

그림 4.

r = m|g| 이므로 사영한 길이는 m|g|cosθ 입니다.

그런데 문제에서는 sin 을 사용해서 답을 구하라고 되어 있군요. 이 경우에는 바닥과 경사면 사이를 θ 라 정의하고 계산해야 합니다. 원래 우리가 θ 로 잡았던 곳이 90 - θ 가 됩니다.

그림 5.

r = m|g| 이므로 사영한 길이는 m|g|cos( 90 - θ ) 입니다.

[ 삼각함수 ] 에 의하면 cos( 90 - θ ) = sinθ 이므로, 사영한 길이는 m|g|sinθ 입니다.

( b )

( a ) 를 통해 우리는 F 의 길이가 m|g|sinθ 라는 것을 알게 되었습니다. 즉 F = mg + N = m|g|sinθ 라는 의미입니다.

뉴턴의 운동 2 법칙에서는 F = ma 라 정의하고 있기 때문에, F = ma = m|g|sinθ 이고, 이로부터 a = |g|sinθ 임을 알 수 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

이때 줄의 장력의 세기는 얼마인가?

그림 1.

우리는 F₁ 이 m₁g 이고 F₂ 가 m₂g 라는 사실을 알고 있습니다. 그리고 줄과 도르레의 질량이 0 이므로 줄의 양끝에서는 동일한 장력이 작용합니다. 

그러므로 두 물체의 가속도는 동일하며, 각각은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

식 1.

식 1 로부터 가속도를 구할 수 있습니다.

식 2.

식 2 의 가속도를 다시 식 1 의 첫 번째 식에 할당합니다.

식 3.

저는 책에서와는 반대로 첫 번째 물체를 중심으로 T 를 구했습니다. 하지만 두 번째 물체를 중심으로 T 를 구해도 결과는 같습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

이때 장력의 세기는 얼마인가?

이 문제는 마찰력도 없고 밧줄과 도르레의 질량이 0 이라고 가정합니다. 두 물체가 힘 F 에 의해서 끌려간다고 가정하면 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.

식 1.

일단 우리는 첫 번째 물체에 작용하는 장력을 알 수 있습니다.

식 2.

그런데 우리는 F = m₂g 라는 사실을 알고 있습니다. 그러므로 식 1 은 다음과 같이 쓸 수 있죠.

식 3.

가속도 a 를 식 2 에 할당하면, 장력 T 는 다음과 같습니다.

식 4.