[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 연습문제 5-1 ( 해답이 오답 )

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

---

지표면으로부터 높이 H 인 곳에서, 공을 v₀ 의 빠르기로 수평과 θ 의 각도로 위로 향해 던졌다. 공이 지표면에 닿기까지 공이 수평방향으로 이동한 거리는 얼마인가?

• 중력 가속도 : g

• 최고점에 도달하는 시간 : t_h

• 최고점에서 땅에 떨어지는 시간 : t_l

그림 1.

일단 이 문제를 해결하기 위해서는 공이 땅에 떨어지는 시간을 구해야 합니다.

던진 공의 초기 속도 분해

공은 θ 의 각도로 던져지고 있으므로 이것을 수평성분( x )과 수직성분( y )으로 나누면 다음과 같습니다.

식 1.

공의 수직 성분 속도

공에는 지속적으로 중력 가속도가 가해지므로 시간 t 에서의 속도는 다음과 같습니다.

식 2.

최고점에 도달하는 시간

그런데 최고점에 도달하는 경우는 속도의 크기가 0 이 되는 경우입니다. 그러므로 최고점에 도달하는 시간 t_h 는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

식 3.

최고점까지의 이동 거리

먼저 식 2 의 속도함수를 부정적분해 이동거리함수의 원함수를 구합니다.

식 4.

 [ 0, t_h ] 의 범위로 정적분하면 최고점까지의 이동거리가 됩니다.

식 5.

최고점의 높이

그런데 이것은 시간 t_h 까지의 이동거리이므로 최고점에서의 높이는 공을 던진 초기 높이인 H 에서 이동거리를 더한 값이 되어야 합니다. 여기에서 P 는 위치 함수입니다.

식 6.

자유낙하 운동 속도

이제 최고점의 높이를 구했으니, 시간 t_h 부터는 자유낙하 운동을 하게 됩니다.

자유낙하 운동을 하고 있을 때 속도 함수는 다음과 같습니다.

식 7.

자유낙하 운동 이동 거리

자유낙하 속도 함수를 부정적분해서 이동거리 함수의 원함수를 구합니다.

식 8.

자유낙하 시간

자유낙하 이동 거리는 최고점의 높이와 같아야 합니다. 그러므로 다음이 성립해야 합니다.

식 9.

그런데 t 는 자유낙하 시간만을 의미하기 때문에 실제 t_l 은 다음과 같습니다.

식 10.

수평 성분 이동거리

문제에서는 공기저항에 대해서 언급하지 않고 있기 때문에, 관성에 의해서 수평이동 운동은 등속도 운동이 됩니다. 그러므로 다음이 성립합니다.

식 11.

식 11 에 공이 바닥에 도달하기까지의 시간  t_l  을 대입하면 다음과 같습니다.

식 12.

우리는 식 1 에서 초기속도를 계산했으므로, 이를 식 12 에 대입해서 최종 결과를 구할 수 있습니다.

식 13.

그런데 해답에서는 루트 안의 뒤쪽 항이 4gH 군요. 몇 번 검증해 봤는데, 해답이 오답인 것 같습니다.