[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 물음 3-2

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

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두 위치의 시계가 같은 시각을 나타내는지 확인하는 방법은 무엇인가? 예컨데, 서울과 부산의 시계를 맞추려면 어떻게 하면 될까?

지구는 둥글고 자전하기 때문에 고위도와 저위도의 순간속도에는 차이가 발생합니다. 일단 자전축을 중심으로 회전하니 방향은 동일하다고 가정합니다.

이걸 자전축을 중심으로 슬라이스를 만들어 봅시다. 단위 시간에 θ 만큼의 각도를 회전한다고 가정하면, 시간 t 동안 회전한 거리는 tθr 와 tθR 이 됩니다( θ 는 라디안 [radian] 단위입니다 ). 즉 서울의 자전속도 V_S = θr 이고 부산의 자전속도 V_P = θR 이라는 이야기입니다.

이제 서울과 부산에서 빛의 반사 실험을 한다고 가정해 봅시다. 고유시간을 T₀ 라고 할때 특수상대성 이론에 의한 시간은 다음과 같이 정의됩니다.

식 1.

우리는 서울과 부산이 자전하는 속도를 알고 있으므로 식 1 에 대입할 수 있습니다. 서울의 시간늘어남은 T_S 이고 부산의 시간 늘어남은 T_P 입니다.

식 2.

서울에서는 T_S 비율로 부산에서 T_P 비율로 시간이 흐르도록 제작된 시계를 사용하면 동일한 시간이 흐르게 됩니다.

그런데 시계는 그렇게 제작되기가 어렵습니다. 그래서 "두 위치의 시계를 어떻게 해야 맞출 수 있느냐"는 질문을 하는 거겠죠. 어차피 어디 답이 있는 것도 아니니 마음대로 해석하겠습니다.

같은 위치에 있는 공장에서 만들어진 시계가 특정 시간에 동기화되어 서울과 부산으로 이송되었다고 합시다. 그리고 t 만큼의 시간이 지났다고 가정해 봅시다. 

그러면 서울을 기준으로 했을 때 부산의 시계는 ( T_P / T_S ) * t 만큼의 시간이 될 때 시간을 t 로 맞춰야 합니다.

예를 들어 서울에서 12 시에 시간을 맞추자고 연락을 하면 부산에서는  ( T_P / T_S ) * 12 시가 되었을 때 12 시로 맞추면 됩니다.

그런데 두 시계가 다른 위치에서 제조되어 동기화된적도 없다고 하면 다음과 같은 과정을 거쳐야 합니다.

• 먼저 특정 시점에 시간을 맞춥니다.
• t 시간이 지난 후에 위의 식에 맞게 시간을 맞춥니다.

아는 분에게 이 답이 맞는 것 같냐고 질문을 하니 "특수상대성 이론 하에서의 논리라면 맞는 것 같은데, 회전이므로 가속도가 있는 운동이니 일반 상대성 이론이 적용되는 것이 맞지 않냐" 는 요지의 답변을 들었습니다.

특수 상대성 이론과 관련한 챕터라서 문제가 이상한 건지 제가 잘 이해를 못한 건지 헷갈리네요...