[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 연습문제 5-5 ( 해답이 오답 )

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

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지구는 태양 주위를 약 365 일 주기로 원운동을 한다. 지구에서 태양까지의 거리는 149.6 X 10⁶ km 이다. 지구가 공전하는 가속도 크기를 구하고, 그로부터 태양의 질량을 계산하라.

어떤 원에서 각 θ 일때의 위치 함수 P 를 생각해 봅시다. 그러면 위치함수는 x 와 y 성분으로 이루어진 벡터를 반환합니다.

그림 1.

그림 1 에서 P 함수의 값은 삼각함수를 통해 구해졌습니다.

그런데 우리가 주어진 문제를 풀기 위해서는 θ 를 시간에 대한 함수로 나타낼 필요가 있습니다. 왜냐하면 지구가 태양 주위를 회전하는 데 걸리는 시간을 의미하는 주기를 고려해야 하기 때문입니다.

그림 1 의 원점이 태양의 위치라 가정하면, 지구는 그것을 중심으로 원운동을 합니다. 문제에서 365 일이라고 지정된 주기를 T 라 합시다. 단위시간( 여기에서는 1일 )에 회전하는 각도를 각속도라고 하고 그것을 ω 라 표현하면, 식 1 이 성립합니다. T 일 동안 한 바퀴를 돌면 1 일 동안 ω 를 돌게 된다는 것이죠.

식 1.

자, 이렇게 되면 현재 각 θ 는 시간 t 에 대해 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

식 2.

만약 t 가 T 라면 결과는 2π 이고 한바퀴의 각도를 의미하게 됩니다.

이제 위치함수 P 는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

식 3.

위치 함수를 적분하면 속도함수가 나옵니다. 문제는 이 위치함수가 합성함수라는 점입니다. 여기에서 합성함수 미분법을 증명하는 것은 주제에서 벗어나기 때문에 "합성함수 미분" 이나 "미분 연쇄법칙" 등을 키워드로 해서 검색해 보시기 바랍니다.

어쨌든 P 함수를 성분별로 미분하면 속도 함수가 나옵니다.

식 4.

식 5.

속도 함수를 미분하면 가속도 함수가 나옵니다.

식 6.

식 7.

지금까지의 식들을 정리해 보도록 하겠습니다.

식 8.

속도 벡터와 가속도 벡터의 크기는 다음과 같습니다.

식 9.

식 10.

이제 식 10 에 주어진 값들을 대입해 보겠습니다.

식 11.

해답은 5.939 X 10^-3 입니다. 반올림을 한 거니 답이 맞다고 가정합니다.

여기에서 구한 가속도는 태양과 지구 사이에서 작용하는 원심력인 중력과 같습니다.

중력은 만유인력 상수 및 두 물체의 질량에 비례하며, 거리에 반비례합니다. 그러므로 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.

식 12.

해답은 1.992 X 10³⁰ 인데 첫번째 문제에서 반올림하지 않은 것의 영향이라고 보기에는 값이 너무 차이가 납니다. 

5.939 X 10^-3 를 넣어 봤는데 1.9756 X 10³⁰ 이 나왔습니다.

해답이 오답인 것으로 보입니다.