[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 연습문제 5-4

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

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높이가 H 인 나무 위에 있는 원숭이를 향해 사냥꾼이 총을 발사했다. 총알의 빠르기는 v0 로 일정하고, 사냥꾼에서부터 나무까지의 수평거리는 R 이다.

(a) 총알이 나무 위치에 도달하는데 설린 시간은 얼마인가?

(b) 그 시각 총알의 높이는 얼마인가?

(c) 총알이 발사되는 순간 원숭이가 떨어지기 시작했다면, 그 시각 원숭이가 있는 높이는 얼마인가?

처음에는 답이 틀렸다고 생각했는데, 물잘알 햄이 풀어 보더니 답 맞다고 합니다. 삼각함수의 정의를 이용해서 풀면 맞더군요. 아직 저는 응용력이 많이 부족한 것 같습니다.

중력가속도를 g 라 합니다.

먼저 H 와 R 로 이루어진 직각삼각형의 빗변을 L 이라 하겠습니다.

식 1.

그러면 이제 사인과 코사인을 구할 수 있습니다.

식 2.

총알을 발사하면 총알 속도의 수직성분은 중력에 의해서 감속됩니다. 수평성분은 그대로입니다.  그러므로 시간 t 일 때의 수평성분과 수직성분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

식 3.

시간 t 일 때 위치 함수는 식 3 을 부정적분함으로써 구할 수 있습니다.

식 4.

식 5.

식 4 와 식 5 를 각각 정적분하게 되면 [0, t] 까지의 이동거리가 나옵니다.

식 6.

식 7.

( a )

총알이 나무에 도달하는 시간을 t_h 라 하겠습니다. 이 때까지의 수평성분 이동거리는 R 이 됩니다. 식 6 을 사용해 이동거리를 구하면 도달하는 시간을 구할 수 있습니다.

식 8.

( b )

총알의 높이는 식 5 를 사용해서 구할 수 있습니다.

식 9.

( c )

원숭이는 자유낙하를 합니다. 시간 t 에 원숭이의 속도는 다음과 같습니다.

식 10.

그러면 식 10 을 부정적분해서 원숭이의 위치 함수를 구할 수 있습니다.

식 11.

식 11 에  t_h 를 대입하면 원숭이의 위치가 나옵니다.

식 12.