주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

어떤 두 시각에서의 속도벡터 v1, v2 가 다음과 같다고 할 때, 평균가속도 벡터를 그림에 표시하라.

"평균가속도" 는 "속도변화량 / 시간변화량" 입니다.

표현을 단순화하기 위해서 일단

t2 - t1 = Δt 

라 하겠습니다. 그러면 평균가속도는 다음과 같습니다.

만약 Δt 가 1 이라면 평균가속도는 그냥 v2 - v1 이 되겠죠.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

달이 원운동을 한 번 하는 데는 약 28 일이 걸린다. 지구 반지름은 6,400 km 고, 지구에서 달까지의 거리는 지구 반지름의 약 60 배다. 달의 빠르기를 시속으로 나타내라.

"시속 = 이동거리 / 시간" 으로 계산되므로 이와 관련한 식을 세워야 합니다.

지구 반지름을 r 이라 하면, 지구에서 달 까지의 거리는 60 r 입니다. 그러면 달이 회전하는 궤도의 반지름이 60r 이라는 의미이며, 그 둘레는 2π * 60r 입니다.

이제 실제 계산을 해 보겠습니다.

달은 지구 주위를 시속 약 3600 km 의 속력으로 회전합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

원운동에서 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 주기라 하고, 이를 T 로 나타낸다. 원운동에서 중심점을 원점으로 할 때, 

( a ) 특정 시각의 위치벡터와 그 시각에서부터 1/4 주기 후의 위치벡터를 화살표로 나타내라.

( b ) 변위 벡터를 화살표로 나타내라.

시간 t [second] 에서의 회전각을 θ [radian] 라고 할 때, 시간 T 일 때 θ 는 2pi 입니다. 즉 1 초에 2pi / T 만큼의 각도를 이동하게 됩니다.

반지름이 1 인 원에서 각 θ 일 때의 벡터 r_t 는 ( cos( θ ), sin( θ ) ) 입니다. 만약 반지름이 r 이라 한다면, r_t 는 ( r * cos( θ ), r * sin( θ ) ) 입니다.

여기에서 1/4 주기만큼 이동했다고 하면 그 각 α 는 ( 2pi / T ) / 4 입니다. 정리하면 pi / 2T 입니다.

그러면 θ + α = ( 4 * t + 1 )pi / 2T 입니다.

이제 변위 Δr 은 다음과 같습니다.

실제 벡터를 구하고자 한다면 θ 와 α 에 t 와 T 로 이루어진 식을 할당하면 됩니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

다음 물음들에 답하여라.

( a ) 두 벡터 A, B 가 있을 때, 벡터의 덧셈연산의 정의를 사용하여 다음 관계가 있음을 보여라.

즉 벡터의 덧셈연산은 '교환법칙' 을 만족시킨다.

( b ) 세 벡터 A, B, C 가 있을 때, 다음 관계가 있음을 보여라.

즉 세 벡터에서 덧셈연산은 어떤 순서로 해도 상관없으며, 따라서 '결합법칙' 도 만족시킨다.

( a )

책에서 벡터에 대한 정의를 수학적으로 하지 않은 것으로 봐서는 도식화를 해서 증명하라는 것으로 보입니다.

굳이 수학적으로 증명하자면 다음과 같습니다.

N 차원 벡터 Vn 은 { v1, v2, ..., vn } 이라는 집합으로 정의됩니다. 벡터의 덧셈은 같은 축의 성분끼리의 덧셈입니다.

그러므로 다음이 성립합니다.

각 축 요소들은 스칼라이므로 교환법칙이 성립합니다.

( b )

그림을 그리기 귀찮으니 수학적으로 증명하겠습니다.

각 축 요소들은 스칼라이므로 결합법칙이 성립합니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

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2-1

무선 통신에 쓰이는 전자기 파동의 진동수는 1 GHz 다. 여기에서 1 Hz = 1 S^-1 으로 정의하는 양으로, 1 Hz( 헤르츠 ) 는 1 초에 1 번 진동하는 진동수를 뜻한다. 진동수가 1 GHz 인 파동은 1 초에 몇 번 진동하는가?

Giga 는 10⁹ 을 의미하므로 초당 10⁹ 만큼 진동합니다.

2-2

각 변의 길이가 1 nm( 나노미터 ) 인 정육면체 나노입자에는 약 몇 개의 원자가 있다고 추정되는가? 단 원자의 한 변의 길이가 10^-10, 즉 1/10 nm 인 정육면체 형태로 가정하라.

나노입자의 부피는 다음과 같습니다.

원자의 부피는 다음과 같습니다.

나노입자 안의 원자의 개수는 다음과 같이 계산합니다.

나노입자 안에는 원자가 10³ 개 만큼 들어 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

인체는 약 10¹⁵ 개의 세포로 이루어져 있다고 한다. 인체를 이루는 원자의 개수가 10²⁷ 개라면 세포 하나는 약 몇 개의 원자로 이루어져 있는가?

"a" 는 "atomic" 을 의미하고 "c" 는 "cell" 을 의미합니다. 문제는 세포당 원자개수를 구하는 것이기 때문에 다음과 같이 풀수 있습니다.

세포 하나는 약 10¹² 개의 원자로 구성되어 있습니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

공이나 책과 같이 우리가 주위에서 보는 물체의 크기는 1 cm, 1 m 등과 같이 미터 단위로 측정할 수 있다. 우리가 주위에서 볼 수 있는 물체의 원자가 몇 개나 모여서 이루어진 것인지 짐작해 보자.

( a ) 정육면체 모양의 물체의 한 변의 길이를 0.1 m 라 가정하면, 그 부피는 얼마인가?

( b ) 원자의 지름은 10^-10 m 이다. 원자를 한 변의 길이가 10^-10 m 인 정육면체로 본다면, 원자를 차곡차곡 쌓아 ( a ) 의 물체를 이루었을 때 물체 속 원자 개수는 몇 개인가?

( a )

정육면체의 부피를 구하는 식은 한 변의 길이를 n 이라고 할 때 다음과 같습니다.

그러므로 한 변의 길이가 0.1 m 인 정육면체의 부피는 다음과 같습니다.

( b )

한 변의 길이가 10^-10 m 인 원자 정육면체의 부피는  10^-30 [ m³ ] 입니다. 그러므로 물체속의 원자 개수를 다음과 같이 계산할 수 있습니다. "N" 은 "Number" 를 의미합니다. 첨자 "o" 는 "object" 를 "a" 는 "atomic" 을 의미합니다.

정육면체 물체에는 원자가 10²⁷ 개가 들어 있습니다. 

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

원자핵의 반지름이 원자 반지름의 10^-5 일 때, 핵의 부피는 원자 부피의 몇 배인가?

문제를 풀기 전에 책의 설명이 좀 부실해서 부연하고자 합니다. 

[ Units of Measurement ] 에 의하면 소수점 1000 단위마다 밀리( milli ), 마이크로( micro ), 나노( nano )라는 단위로 나뉩니다( 나중에 표 2-2 로 나오기는 하네요 ).

출처 : [ Units of Measurement ].

원자의 중심에 원자핵이 있으므로 원자와 원자핵의 관계는 다음과 같습니다.

원자핵의 반지름을 r 이라 하고 원자의 반지름을 r' 이라고 할 때 다음과 같은 관계식을 만들 수 있습니다.

이를 부피를 구하는 관계식에다가 넣으면 다음과 같습니다. 여기에서 아래첨자 "a" 는 "atomic" 을 "n" 은 "nucleus" 를 의미합니다 .

그러므로 원자의 부피는 원자핵의 부피보다 10¹⁵ 만큼 큽니다.

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

우리가 보는 달과 태양은 크기가 비슷하게 보인다. 태양이 달보다 훨씬 크지만, 달보다 더 멀리 떨어져 있어서 그렇게 보일 뿐이다. 실제로 달까지의 거리는 지구 반지름의 약 60 배이고, 태양까지의 거리는 약 23450 배이다.

( a ) 이로부터 추정되는 태양의 반지름은 달의 반지름의 몇 배인가.

( b ) 태양이 달과 같은 물질로 구성되어 있다고 가정하면( 실제로는 그렇지 않다 ), 태양의 질량은 달의 질량의 몇 배인가?

( a )

지구의 반지름을 r, 달의 반지름을 r', 태양의 반지름을 r'' 이라고 하죠. 그러면 아래와 같은 관계가 형성됩니다.

닮은꼴 삼각형이 두 개가 존재함을 알 수 있습니다. 그러므로,

입니다.

태양은 달보다 약 400 배 정도가 큽니다.

( b )

밀도를 구하는 식은 다음과 같습니다. ρ 는 밀도, M 은 질량, V 는 부피입니다. 

즉 질량은 밀도 곱하기 부피입니다. 같은 물질로 구성되었다고 가정하면 밀도는 동일하므로 결국 질량은 부피에 비례합니다.

구의 부피를 구하는 식은 다음과 같습니다. 잘 모르시는 분들은 [  구의 부피와 구의 겉넓이 ] 를 참고하세요.

그러므로 태양과 달의 질량비는 다음과 같습니다.

그러므로 이 조건에서는 태양이 달보다 약 64,000,000 배 정도 무겁습니다.