[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 연습문제 4-6

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

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그림 1.

물체의 질량을 m 이라고 합시다.

( a )

경사면 방향으로 진행하고 있는 물체의 초기 속도 v  는 중력의 경사면에 대한 수평성분 F 에 의해 감쇠됩니다. 중력의 경사면에 대한 수평성분은 수직항력 N 과 반대방향의 힘입니다.

그림 2.

앞에서 이런 문제를 많이 풀었기 때문에 F 와 N 을 구하는 방법에 대한 자세한 설명은 생략합니다.

식 1.

F 의 가속도는 gsin(θ) 이므로 시간 x 에 대한 속도 크기 함수 v(x) 는 다음과 같습니다.

식 2.

시간 t 에 속도의 크기가 0 이 된다고 하면 t 는 다음과 같습니다. 즉 t 일 때 최고점에 도달합니다.

식 3.

v(x) 를 부정적분해 거리함수 D(x) 를 구하면 다음과 같습니다.

식 4.

시간 0 부터 t 까지 정적분하고 나서, 식 3 에서 구한 시간 t 값을 대입하면, 최고점까지의 이동거리인 d 가 됩니다.

식 5.

문제에서는 높이 h 를 구하라고 했기 때문에 삼각함수를 이용해 문제를 풀수 있습니다. 경사면 이동거리가 d 이므로, sin(θ) = h / d 입니다. 즉 h 는 다음과 같습니다.

식 6.

( b )

마찰력이 존재하고 마찰계수가 μ 라면 마찰력 f 의 크기는 다음과 같습니다.

식 7.

문제에서는 정지마찰력에 대한 언급을 하고 있지 않습니다. 그래서 그냥 상수적으로 작용하는 운동마찰력을 적용해서 계산하기로 했습니다.

자 그러면 F 의 크기가 달라지며 이로부터 가속도의 크기를 구할 수 있습니다.

식 8.

이제 시간 x 에서의 속도의 크기 함수 v(x) 는 다음과 같습니다.

식 9.

시간 t 에 최고점에 도달한다고 가정하면 그 때 속도의 크기는 0 입니다.

식 10.

v(x) 를 부정적분해 거리함수 D(x) 를 구하면 다음과 같습니다.

식 11.

시간 0 부터 t 까지 정적분하고 나서, 식 10 에서 구한 시간 t 값을 대입하면, 최고점까지의 이동거리인 d 가 됩니다.

식 12.

문제에서는 높이 h 를 구하라고 했기 때문에 삼각함수를 이용해 문제를 풀수 있습니다. 경사면 이동거리가 d 이므로, sin(θ) = h / d 입니다. 즉 h 는 다음과 같습니다.

식 13.