주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.




이 장은 평소에 아주 어렵게만 생각하던 복소수의 개념을 기하학적으로 쉽게 이해할 수 있는 단초를 제시해 준다. 흥미로운 주제이다. 단지 아쉬운 점이 하나 있다면 이것을 과학에서 실제로 어떻게 응용하고 있는지 설명하고 있지 않다는 것이다. 그냥 수학적인 개념으로서만 이해해야 하나?




제곱근의 절대값과 개수 구하기




위의 식에 대한 n 제곱근의 절대값이 아래와 같다고 이야기하고 있다.



위의 식을 보면서 이유를 몰라 헤멜수도 있는데 이것은 다음과 동일하므로 헷갈릴 필요가 없다. 그냥 표현의 차이일 뿐이다.



문제는 "각도 n 개의 값을 다음의 공식으로부터 구할 수 있다" 고 이야기한다는 점이다. 처음에는 그 말때문에 엄청 헷갈렸다.



정확하게는 "m + 1 번째 각도는 다음의 공식에서 구할 수 있다" 라고 이야기해야 한다. 여기에서 m 은 [ 0, n - 1 ] 의 범위를 가진다. n 과 &θ0 은 고정되어 있으므로 m 만 변화시켜 가면서 값을 찾으면 된다.


주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.




[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 11. 극 좌표계




원문 표기





그림 11-5


그림 11-5 에서 갑자기 다음과 같은 공식이 나온다.




순간 "이게 뭐야 !!!" 라는 생각이 들었다. 그림에 제대로 된 표기가 없어서 그렇다.



그림 1. 그림 11-5 의 완성된 그림.



그림 11-6


그림 11-6 은 첨에 볼 때 뭔 소린가 싶다. 이것은 계속해서 극 좌표계인 ( r, θ ) 의 연장선상에 있다. "만약 극 좌표계의 r 성분에 radian 값을 증가시켜 넣으면서 해당 점을 찍으면 그 궤적은 어떻게 나올 것인가?" 라는 문제인거다.


r = θ 에서 θ 가 계속 증가하고 있기 때문에 반지름이 점점 넓어지면서 회전까지 하고 있기 때문에 결국에는 나선을 그리게 된다.


주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.




[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 10. 삼각함수의 역함수




이번 장은 특별한 내용은 없다. 역함수라는 것의 개념에 대해서 설명하고 삼각함수의 역함수를 사용해서 원래의 각도를 구할 수 있다는 것을 이야기하고 있다. 물론 범위의 제약은 있지만... 역함수로 구하는 각도가 호를 연상시킨다는 점에서 'arc' 가 붙는다는 것을 처음 알았다. 근데 팔은 로봇이라면서 왜 사람처럼 생겼지 ㅡㅡ;; 




원문 표기


역함수 : a reversed function; an inverse function.

로그 함수 : a logarithmic function.

지수 함수 : an exponential function.

삼각함수 역함수 : an inverse trigonometric function.




삼각함수 역함수의 유도


삼각함수의 역함수 값을 구하는데, 원래 삼각함수의 값을 각도별로 늘어 놓은 다음에, 삼각함수에 입력값이 출력값에 대한 역함수의 출력값이라는 식으로 설명하고 있다. 


이걸 보면서 의문이 들었다. "삼각함수의 역함수는 유도하지 않나?".


자료를 좀 찾아 보니 [ 정적분 삼각치환 공식 ] 이라는 글에 다음과 같은 언급이 있었다.


원래 삼각함수는 역함수가 존재할 수 없으나, 그 정의역을 적절히 조절해주면 일대일대응을 갖게되어, y=x에 의한 역함수를 얻을 수 있고 그것이 아크삼각함수이다.


- 출처 : 정적분 삼각치환 공식. 아제라테스.



주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.




[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 9. 파동




이 장은 드디어 파동에 대한 내용을 다룬다. 아주 단순한 사실로부터 시작해서 파동을 이해하기 쉽게 설명하고 있다. 물론 아무 생각없이 읽어도 될 정도는 아니다.




원문 표기


파동 : wave.

조화 파동 : harmonic wave.

정상파 : stationary wave.

고조파 : harmonic.




조화 파동 함수


책에서 조화 파동을 정의하기 전까지만 해도 "아 그렇구나" 하면서 끄덕끄덕하게 된다. 조화 파동의 공식을 유도해 가는 과정이 참 흥미롭다. 그런데 막상 공식이 나오면 "헉" 소리가 나온다.


여기에서 나를 힘들게 만든 것은 두 가지였다.

  • x 와 t 라는 두 개의 변수가 나온다( 지금까지 우리가 본 건 항상 변수가 하나였다; x 나 t ).
  • 파동수와 주파수의 개념이 헷갈린다.


파동이라는 것이 제자리에서 가만히 있지 않고 시간에 따라 다른 위치로 전달되기 때문에 복잡한 함수가 나오게 되는데, 처음 볼 때는 참 이해하기 힘든 것 같다. 조화 파동 함수를 책을 보지 않고 유도해 보는 것이 확실히 이해하는 데 도움이 될 것 같다.


[ 파동의 표현 ] 이라는 글도 읽어 볼 만 하다.




정상파 함수


교수가 뜬금없이 공식을 도출한다. 처음에 보고 이것도 "헉" 소리가 나왔다. 이건 너무 중간 단계를 뛰어 넘은 것 같다. 다음과 같은 식으로 설명했으면 좋았을 것 같다.


라는 함수를 생각해 보자. y 값의 범위는 [ -A, A ] 이다. 그런데 x 라는 변수만 있다면 시간에 따라서 진동하지 않고 제자리에 가만히 있게 된다. 그러므로 시간과 관련한 변수 t 가 필요하다.


y 값의 범위를 [ -A, A ] 를 유지하면서 시간 t 에 따라서 왔다 갔다 하게 만들려면 어떤 함수가 더 필요하다. 다음과 같은 형식이 될 것이다.



이 F 라는 함수를 곱했을 때 그것의 범위가 [ -1, 1 ] 까지라면 여전히 [ -A, A ] 를 유지하는 것이 가능하다. 우리는 그러한 함수를 하나 알고 있다. 바로 sin 함수이다. 시간에 따라서 [ -1, 1 ] 을 반복하는 함수는 이다. 그냥 t 만 써도 되지만 omega 를 붙인 이유는 지금까지 우리가 배워 왔던 단위나 개념을 유지하기 위해서이다. 그래서 최종 함수는 다음과 같이 결정될 수 있다.





고조파


책에서는 정수배의 주파수를 가진 파동들에 대해서 이야기를 하기는 하는데, 용어를 안 알려 줬다. 원래 주파수에 대한 정수배의 주파수 성분을 고조파( harmonic )이라고 부른다. 우리가 음악에 대해 이야기할 때 "화음이 맞다"라는 표현에서 '화음'의 영문 표현인 'harmony' 도 같은 어원을 가지는 것 같다.


아래 그림은 줄에서의 고조파를 보여 준다.


그림1. 줄에서 고조파 만들기. 출처 : Harmonic. Wikipedia.


아래 그림은 실제 악기에서 고조파가 어떤 식으로 동작하는지 보여 준다.


그림 2. 기타줄에서 harmonic. 출처 : Harmonic. Wikipeda.


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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 8. 삼각함수 그래프




이 장은 단순히 도형을 다루고 공식을 풀던 것에서 한 단계 더 나아가 파형을 다루기 시작하고 있다. 이 장에서의 기본 주기함수들은 다음 장으로 넘어 가면서부터 확장되고 응용된다( 파동이 나온다 ). 그러므로 이 장의 내용을 잘 이해하는 것이 중요하다.


레코디스의 딴지 때문에 실제 주기함수를 발견하다니 ㅡㅡ;;




원문 표기


삼각대 : tripot.

노출 : exposure.

주기 함수 :  periodic function.

진폭 : amplitude.

각주파수 : angular frequency.

주파수 : frequency.

위상 : phase.




위상 설명 오류?


책에서 에서 가 위상이라고 이야기하고 있다. 처음 위상의 정의를 보면 이해하기 힘들다. 예를 들어  라는 직선을 생각하면 당연히 x 축으로의 위상은 가 될 것이다.



그림1. 직선의 위상 변화.


그런데 주기 함수에서는 느닷없이 를 사용한다.


처음에는 이해가 가지 않았다. 그러나 주파수라는 것이 주기 함수를 전체적으로 scaling 하는 개념으로 생각하면 이해가 간다. 다시 말해  를 계산한 다음에  만큼 이동한 것이 아니라,  를 계산한 다음에 통째로 배 한 것이라는 것이다. 아래 그림을 보자.




그런데 이런 상황이 억지로 끼워 맞추려고 하면 심정적으로는 이해가 가는데 식을 봐서는 이해가 가지 않는다. 왜냐하면 아무리 봐도  는  계산 후  이동이기 때문이다. 아무래도 책에서 설명을 잘못 하고 있는 것 같다. 아마 를 설명하려고 한 것이 아닌가 싶다.



  1. 같은고민 2018.08.02 13:30

    고등학교 물리시간에 배운걸 오랫만에 다시 애한테 가르치다보니 같은 고민을 하게 되었네요. 평면좌표계에서 점의 이동을 할때 (x,y)점을 (+a,+b)만큼 이동한 점을 (X,Y)=(x+a,y+b)라고 해서 +로 하지만, 그래프로 표현할때는y=f(x)는 X=x+a, Y=y+b를 결국 x=X-a, y=Y-b라고 두기때문에 부호가 반대인 Y-b=f(X-a)가 되고 X,Y를 그냥 x,y로 고쳐도 무방하므로 점은 +, 함수는 당연히 반대로 표시하는구나라는건 알았는데 갑자기 삼각함수 위상에 오면 어 이것봐라 얘는 또 왜 함수인데도 위상변화는 +를 왜 +로 쓰는거야 그래프 그려봐도 함수처럼 (wt+B)면 wt를 -B/w만큼 x축의 양의 방향으로 옮기는건데 뭔 말도 안되는 소리야라고 생각을 하게 되죠! 그런데 위상에서 의미하는건 반지름이 1인 원에서의 회전각이고 이때 결과로 얻어지는 y의 값입니다! 즉, +B/w만큼 빨리 같은 높이에 도달한다는거에요! 그래프는 말씀하신대로 이동하는게 맞구요! 위상이 빠르다 이야기하는건 먼저 같은 점에 도달한다는거에요. +값이면 애초 반시계방향의 원운동에서 출발점이 그만큼 앞서있는거죠. 위의 직선 그래프에서 보셔도 y=ax는 x=0에서 원점을 이미 통과한데 반해 y=a(x-b)는 b만큼 늦게 x축 즉 y=0을 통과하니까요! 정현파의 페이저 표현 이라고 구글에서 찾으면 ppt 자료 중 4-10pp 보시면 이해가 되실거에요!
    http://www.gntech.ac.kr/


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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 7. 사인법칙과 코사인법칙




아 정말 삼각함수의 위대함을 인정하지 않을 수 없는 내용이 나온다. 모든 삼각형에 대해서 뭔가를 계산해야 할 때는 삼각함수를 이용할 수 있다. 트리고노메트리가 삼각함수에 집착하는 이유를 알만 하다. 사실 삼각형 뿐만이 아니라 모든 도형에 대해서도 적용될 수 있을 것이다. 모든 도형은 직각삼각형으로 분할될 수 있기 때문이다.




원문 표기


  • 내각 : interior angle.
  • 외각 : exterior angle.




삼각형의 내각의 합


"삼각형의 내각의 합은 180 도 이니까" 라는 말이 많이 등장하는데, 우리가 당연하게 알고 있던 사실을 갑자기 고민하게 된다. 왜 180 도일까? 삼각형의 내각의 합을 증명하는 글들은 많이 있다. "삼각형의 내각의 합 증명" 으로 구글링해 보기 바란다. 검색하면서 나온 글들을 대충 보니 증명방법이 6 가지 이상이라는 글도 있었다.


그중에서 실험적으로 직관적인 이해를 할 수 있을 만한 재밌는 글을 찾았다. 이건 학문적으로 봤을 때 제대로 증명은 아니지만 흥미로운 것 같다 : 삼각형은 세 내각의 합이 왜 180도일까?


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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 6. 삼각함수 항등식




삼각함수에 대해 공부할 때, 삼각함수 항등식만 나오면 "그냥 그렇구나" 혹은 "머리 아프네" 라는 생각만 하고 대충 넘어 갔었다. 그런데 이 장을 보면서 삼각함수 항등식에 대한 두려움을 벗어 던질 수 있게 되었다. 기억 안 나면 유도하면 되지 ㅎㅎ


여담인데... 원서를 안 봐서 모르겠지만, 레코디스는 'record' 에다가 'is' 붙인게 아닌가 싶다. '기록돌이' 정도???


레코디스가 트리고노메트리스랑 싸우는 거 참... 지겹다.




원문 표기


  • 항등식 : an identical equation; an identity.
  • 관계식 : relation.
  • 덧셈 법칙 : additivity law.
  • 배각 공식 : formulas of multiple angle




Tangent 덧셈 법칙


작가가 귀찮았는지 tangent 덧셈 법칙을 쓰다가 중간에 건너 뛰고 결론을 내렸다. 뭐 이해하는 사람은 하겠지만, 순간적으로 "뭐지?" 했다.



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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 5. 호도법( 라디안 각도 ).




드디어 고블린의 부하가 등장한다. 이 장은 제목과는 다르게 단순하게 호도법 뿐만 아니라 여함수에 대한 담고 있다.




원문 표기.


라디안( 호도 ) : radian.

중심각 : central angle.

동위각 : a corresponding angle.

변역 : codomain.




호도법의 발견.


로봇인 팔에게 총을 "1 m 회전시켜" 라고 명령하는데서 "회전의 길이" 라는 개념을 생각하고 다시 "회전 각" 이라는 개념을 생각하는 과정을 보여 준다. 그런데 이야기가 좀 억지스럽다.


만약 내가 저자였다면 "팔의 팔과 총의 길이가 달라지면 1m 회전시키라고 했을 때 쏘는 방향이 달라지는 데 이걸 어떻게 하죠?" 라는 질문에서 글을 시작했을 것 같다. 그래야 뭔가를 회전시킬때 길이 보다는 각도를 사용해야 하는 것의 필요성을 강조할 수 있었을 것 같다.


그림 1. 회전 반경과 쏘는 방향의 차이.




원의 좌표, 삼각함수, parametric equation.


이전에도 언급했던 거지만, 삼각함수는 원과 연관지어 생각하는 것이 더 좋은 것 같다. 실제로 3D 관련 업무를 하다가 보면 그런 관점이 많이 필요한 것 같다. 특히 parametric function 의 경우에 이런 관점은 중요하다.


책에 나와 있듯이 원의 정의와 피타고라스 정리로부터 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.


그림 2. 원과 피타고라스 정리.


하지만 위의 공식으로는 "x, y, r 중 두 값을 알고 있을 때, 나머지 한 항의 값을 구하라" 라는 식의 문제만 풀 수 있지 실제 응용프로그램에서는 사용하기 힘들다. 왜냐하면, 예를 들어 r 만 알고 있을 때 ( x, y ) 의 해는 무한하게 많이 존재하기 때문이다. 게다가 r 과 x 를 알고 있다고 해도 y 의 해는 두 개가 나오게 된다( 양수와 음수 ).


그렇다면 r 을 알고 있을 때, 어떻게 원을 그릴 수 있을까? 이럴 때는 parametric equation 을 사용할 수 있다. Wikipedia 에는 다음과 같이 정의되어 있다.


수학에서, curve 의 parametric equation 은 curve 의 한 점의 좌표를 parameter 라는 변수로서 표현하는 공식을 통해 이 curve 를 표현하는 한 방법이다. 예를 들어,




는 단위 원에 대한 parametric equation 이다. 여기에서 t 가 parameter 이다.

- 출처 : Parametric equation. Wikipedia.


다시 말해 다음과 같은 식으로 curve( 여기에서는 원 ) 상의 한 점을 parametric equation 으로 표현할 수 있다.


그림 3. 원의 parametric equation.


만약 a 나 b 를 시간이 지남에 따라서 증가시키면, 원을 그릴 수 있다.




가능한 삼각함수 값의 법칙과 그래프.


가능한 삼각함수 값의 법칙을 이야기할 때 그래프를 그려 줬다면 더 이해하기 쉽지 않았을까 생각한다.


그림 4. sine 그래프. 출처 : Trigonometry. Wikipedia.


그림 5. tangent 그래프. 출처 : Trigonometry. Wikipedia.




여러 삼각함수들의 기하학적 관계.


여러 가지 삼각함수들의 기하학적 관계가 아래 그림에 나와 있다. 만약 모른다면 일일이 계산해야 할 것 같은데...


그림 6. 여러 삼각함수들의 관계. 출처 : Trigonometry. Wikipedia.






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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 4. 삼각함수의 응용.




3장에서 협박을 한 고블린은 최종보스인지 떡밥만 던지고 나오지를 않는다. 이제부터 vector 나 물리 개념들이 나오면서 슬슬 머리가 아파지기 시작한다. 그런데 여전히 억지 설정들이 있기는 하지만, 평소에 생각지도 못한 부분들에서 삼각함수를 응용하는 걸 보면 재밌다( 고등학교때 물리 수학 공부를 열심히 안 해서리... 그냥 새롭다 ㅠㅠ ).




원문 표기.


  • 벡터 : vector.
  • 속도 : velocity.
  • 성분 벡터 : component vector.
  • 마일 : mile ( = 1.609 km ).
  • 원심력 : centrifugal force.
  • 관성력 : inertial force; the force of inertia.
  • 장력 : tension.
  • 중력 : gravity.




벡터의 합과 성분벡터.


책에서는 두 벡터의 합을 구할 때 "두 방향은 반드시 서로 직각이어야 한다는 점이다" 라고 이야기하고 있다. 그런데 사실상 벡터의 합을 구하기 위해서 벡터들이 서로 수직일 필요는 없다. 성분 벡터를 가지고 벡터의 합을 구하면 피타고라스 정리를 이용하기가 쉬울 뿐이다.


예를 들어서 "배가 시속 10 km 로 이동하는 물 위에 떠 있는데 다음과 같이 시속 5 km 로 바람이 불면 배는 1 시간 뒤에 어디에 있겠는가?" 라는 질문을 낼 수 있다( 이 때 배는 바람의 힘을 온전하게 받는다고 가정한다 ).



그림 1. 벡터 합 구하기 문제.


사실 이 문제를 풀기 위해서는 두 벡터의 좌표값까지 다 제시해야 하지만, 여기에서는 개념만 가시적으로 설명하려고 하기 때문에 생략한다.


이 두 벡터를 합하면 다음과 같은 결과가 나온다. 각 벡터를 다른 벡터의 화살표 끝에서 평행하게 같은 크기로 그어서 평형사변형을 만든다. 그러면 그 대각 벡터가 원하는 벡터가 된다.


그림 2. 벡터의 합 결과.


사실 이 결과는 두 벡터의 성분을 "성분" 별로 더한 것과 같은 결과이다. 이것을 해석하면 "파란 벡터만큼 이동한 후, 빨간 벡터만큼 이동한다" 가 된다. 반대 순서로 이동해도 결과는 동일하다. 왜냐하면 덧셈을 할 때는 순서가 상관이 없기 때문이다( 덧셈의 교환 법칙 ).


이것을 극단적으로 쉽게 확인할 수 있는 것이 축별 성분 벡터이다. 2D 좌표계에서 좌표는 ( x, y ) 로 표현된다. 이 좌표의 각 성분( 즉 'x' 와 'y' )는 각 축에서의 위치를 표현하고 있다. 그러면 축별 성분 벡터는 ( x, 0 ) 과 ( 0, y ) 을 의미하고 있음을 알 수 있다. ( x, y ) 는 ( x, 0 ) 과 ( 0, y ) 를 더하면 된다. 이 두 벡터를 더하면 ( x + 0, y + 0 ) 이다. 이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다.


그림 3. 성분 벡터.


위에서 이야기한 벡터끼리의 합은 이러한 성질을 이용해서 수행되는 것이다.




속도의 수직 성분.


이 책을 읽다가 가끔 이해가 안 가는 부분이 생긴다. 대체 이 책의 수준을 어디에다가 맞추고 있는지 이해가 안 갈 때가 있다( 물론 전반적으로는 쉽게 설명하는 편이고, 이것도 그 전장에서 설명했던 내용들이다. 하지만 무조건 앞에 다 이해했다고 가정하기 보다는, 복습 개념으로 좀 설명을 해 주던가 아니면 "이해 안 가는 사람은 어디를 봐라" 라고 해 줬으면 좋았으리라 생각한다 ).


속도의 수직 성분이 대뜸 다음과 같은 공식처럼 제시된다.



이 식을 보고 "???" 하는 사람들이 있을 것이다. 이것은 닮은 삼각형의 성질을 생각해 보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있다. 빗변이 1 일때, 대변은 sinA 가 되고, 밑변은 cosA 가 된다. 그리고 닮은 삼각형의 ( 정비례 ) 성질을 이용하면, V0 일 때는 sinA 에 V0 을 곱해주면 되는 것이다. 사실 그냥 이해한 사람들도 많을 것이다. 하지만 아직 삼각함수나 그 응용에 익숙하지 않은 사람들은 갑자기 나오는 공식에 깜놀하지 않을까 생각한다. 나도 순간 "뭐지?" 했다.


그림4. 수직 성분 벡터 구하기. x 는 대변의 길이( 높이 )이다.




미끄러운 경사길에서 증명 문제.


그림 4-11 에서 "두 각도 A 가 같음을 기하학적으로 증명해 보라" 라는 문제가 있다. 이것은 삼각형의 내각의 합은 180 도이고 직선은 180 도라는 성질을 이용하면 증명할 수 있다.


그림 5. 4-11 그림 기하학적으로 증명하기.


주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.




[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 3. 삼각함수

사인( sin ), 코사인( cos ), 탄젠트( tan )




이번 장은 떡밥을 던져 놓고 삼각함수를 정의하게 만든다. 삼각함수를 만들어 가는 과정이 흥미롭다. 이 책의 저자는 나름 사람 이름으로 parody 를 한다. IT 관련 서적의 이름인 O'Reilley 에서 따온 오레일리( 원래는 '오라일리' 라고 해야 할 듯 )라든가 삼각법을 의미하는 trigonometry 에서 따온 트리고노메트리스 등의 이름이 나온다. 아마도 '피타고라스', '아리스토텔레스', '소크라테스처럼 뒤에다가 's' 를 붙인거 같은데, 잘 모르면 "이름이 뭐 이래" 라는 생각이 들 수 있다. 하지만 원래 용어의 원문 표기를 아는 사람은 "피식"하고 미소짓게 만든다.


아마도 역자가 "곳곳에서 번뜩이는 저자의 유머를 제대로 전달하지 못한 아쉬움 등이 남습니다" 라고 이야기할 수 밖에 없었던 이유가 이런 상황 때문이 아닌가 싶다. 나중에 국왕이 "자네의 공로를 기리기 위해 앞으로 이 분야는 삼각법( Trigonometry )이라고 부르기로 하겠네" 라고 이야기하게 되는데, 우리 말대로 한다고 연구자 이름들 '삼각돌이' 라는 식으로 번역할 수는 없었을테니... 번역자가 참 난감하지 않았을까 싶다. 그래서 타문화권의 글을 번역하는 데는 어려움이 많은 것 같다.


역자에게 경의를...




원문 표기


  • 정삼각형 : equilateral triangle; regular triangle.
  • 대변 : opposite edge.
  • 유리수 : rational number.
  • 무리수 : irrational number.
  • 제곱근 : square root.
  • 대수 : algebra.
  • 삼각비 : trigonometric ratio.
  • 삼각함수 : trigonometric function.
  • 호도법 : circular measure.




원과 직각삼각형, 그리고 vector 의 길이.


원의 정의는 "한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임( 자취 )" 이다. 즉 원의 중심에서 원의 둘레에 존재하는 모든 점과의 거리가 동일하다는 것이다. 결국 2D 좌표계에서 보면 다음과 같은 결과를 확인할 수 있다.


그림1. 좌표와 직각삼각형.


이것은 누구나 다 알고 있는 사실이다. 하지만 좌표계와 점만 달랑 그려 놓으면, 이러한 기본적인 사실을 떠 올리지 못하는 경우가 많다. 이러한 사실에 기반해서 유클리드 좌표계( 데카르트 좌표계 )에서는 점 사이의 거리를 구하거나 vector 의 길이를 구할 때 피타고라스 정리를 사용하는 것이다.


책에서 트리고노메트리스는 이러한 성질을 이용해 길이가 1 인 원을 기반으로 여러 가지 각도에서 밑변과 대변의 길이를 재고, 닮은삼각형의 비례적 성질을 이용해 빗변의 길이가 1 이 아닌 경우의 밑변과 대변의 길이를 계산하는 것을 보여 준다.




삼각비 이름 외우기.


학교 다닐 때 sine, cosine, tangent 를 외우는 방법을 알파벳 필기체를 통해서 배웠었는데, 구글링을 하다 보니 의외로 그런 설명이 없어서 놀랐다. 원래 외국은 그렇게 안 배우나...


외국에서는 삼각비 이름을 "SOH-CAH-TOA" 로 외우는 것 같다. 요건 밑변Adjacent edge, 대변Opposite edge, 빗변Hypotenuse edge 의 머리글자를 가지고 만든 것이다.


그림 2. 직각삼각형 각 변의 이름. 출처 : Wikipedia.


Sine 은 Opposite / Hypotenuse 이므로 SOH( Sine : Opposite over Hypotenuse ).

Cosine 은 Adjacent / Hypotenuse 이므로 CAH( Cosine : Adjacency over Hypotenuse ).

Tangent 는 Opposite / Adjacent 이므로 TOA( Tangent : Opposite over Adjacent ).


그래서 COH-CAH-TOA 이다. 우리 발음으로 하면 "소우카토아" 정도 될라나...


하여간 우리는 한국 사람이라 변의 이름을 영어로 외우지는 않으니, 외국의 방식은 무리가 있다. 아래는 필기체를 쓰는 순서를 보여 주는 애니메이션 이미지이다. 순서대로 's', 'c', 't' 이다.


그림 3. 필기체 's', 'c', 't'. 출처 : Handwriting For Kids.


아래 그림과 같이 필기체를 쓰는 순서대로 외울 수 있다. 물론 항상 관심을 주는 각은 왼쪽 아래에 있다고 가정하고 외워야 한다. 


그림 4. 삼각비 이름 외우기.


주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.




[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 2. 직각삼각형 문제를 풀다.




이번에는 크리스마스 트리를 만들기 위해서 나무의 높이를 구하는 방법을 알아내는 이야기이다. 이 책의 장점은 "어떤 이론을 내세운 뒤에 거기에 끼워 맞춰 사고하는 방식"을 강요하는 것이 아니라, "어떤 상황으로부터 어떤 이론을 만들어 가는 과정"을 가르쳐 주는 데 있는 것 같다.


그런데 이야기를 억지로 끼워 맞추려고 하다가 보니 좀 문제가 있다. 나무 꼭대기까지의 각도는 대체 어떻게 구한거지???




용어 원문 표기.


  • 이등변 삼각형 : an isosceles triangle; an equilateral triangle.
  • 직각 삼각형 : a right-angled triangle.
  • 직각 삼각형의 빗변 : the hypotenuse of a right-angled triangle.
  • 천문 단위 : a.u. : angstrom unit.




낭떠러지에서 각도 재기.


책에서는 그림을 상황에 맞게 그려 놓지 않아서 좀 헷갈리는 부분이 있다. 낭떠러지 끝에서 각도를 쟀다고 하는데, 이 문장을 볼 때 이것이 어느 쪽 낭떠러지인지 판단하기 힘들다. 40 도의 각이 나왔다고 하는 것을 봐서는 아래 그림에서 볼 수 있듯이 A 지점에서 쟀다고 할 수 있다. 만약 B 지점에서 40 도였다면 그 전에 이미 45 도인 지점을 찾을 수 있었을 것이기 때문이다.


그림1. 절벽 위의 나무.




닮은 삼각형 이해하기.


닮은 삼각형을 이해하는 가장 쉬운 방법은 좌표계를 이용하는 것이다. 다음과 같은 2D 좌표계에 삼각형을 그려 보자. y = ax 라는 직선을 빗변으로 공유한다고 가정하자.


그림 2. 닮은 삼각형의 성질.


x = n 인 지점에서는 y = an 이고, x = m 인 지점에서는 y = am 으로 정비례한다는 것을 알 수 있다. 이러한 관계는 직각이 아니라도 마찬가지이다. 그려 보면 쉽게 알 수 있을 것이다. 각 직각 삼각형의 빗변의 길이도 피타고라스 정리에 의해서 쉽게 구할 수 있는데, 각각 다음과 같다.




빗변 역시 비례하고 있음을 알 수 있다.


주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.



[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 1. 각도와 삼각형.




원문 표기.


수학이나 과학과 관련된 번역물을 보면서 안타까운 것 중의 하나는 우리 말로 된 용어들의 원문 표기를 잘 안 한다는 것이다. Graphics 관련 일을 하다가 보면 외국 article 들을 보는 경우가 많은데, 수학 관련 용어들이 나올 때마다 그것이 무엇인지 이해하기 어려운 경우가 많다. 요즘같은 global 시대에는 왠만하면 우리 나라에서 만든 용어가 아닌 용어들은 원문을 병기해 줬으면 하는 바램이다.


  • 직선 : straight line.
  • 반직선 : ray; half line.
  • 각, 각도 : angle
  • 꼭지점 : apex; vertex; angular point.
  • 예각 : acute angle.
  • 둔각 : obtuse angle.
  • 평각 : straight angle.
  • 호도법 : circular measure; circular method.
  • 선분 : segment( of a line ); line segment.
  • 밑변 : base; base line; bottom side of a polygon.
  • 너비 : width.
  • 높이 : height.
  • 빗변 : hypotenuse; oblique side.
  • 합동 삼각형 : combination triangle.
  • 닮은꼴 삼각형 : similar triangle.
  • 호 : arc.
  • 여각 : complementary angle.
  • 보각 : supplementary angle.

참고로 180 도가 넘어 가는 각은 우각이라고 하며, 영어로는 reflex angle 이다. --> reflex 는 '반사 작용' 이라는 뜻인데 이것이 우각인 이유를 잘 모르겠다. 반사 작용 검사할 때 다리를 굽힌 모양 때문인가??? 한자어로는 넉넉할 우( 優 )자이다.


그림1. Reflex. 그림 출처 : 네이버 사전


그런데 reflexed 라는 단어는 '뒤로 젖혀진' 이나 '밖으로 굽은' 이라는 뜻이다.




삼각형은 왜 안정적인가?


좀 물리적인 이야기이지만... 삼각형이 가장 안정적인 이유는 '무게중심center of gravity' 때문이다. 무게중심이 아래쪽에 존재할수록 안정적이다. 길을 가다가 돌에 걸려서 넘어지려고 하면 자기도 모르게 다리를 굽히면서 무게중심을 낮추는 경험을 해 봤을 것이다. 스키나 보드를 탈 때 다리를 굽히는 것도 무게중심을 낮춰 안정성을 높이기 위함이다. 좀 더 들어 가면 회전 관성torque 이라는 개념과도 연결이 된다. 두산 백과의 '무게중심' 항목을 보면 그림으로 잘 설명해 주고 있다.




삼각형의 면적 구하기.


삼각형의 면적을 구하는 공식은 사각형의 넓이를 구하는 공식으로부터 유도된다. 


1. 어떠한 삼각형을 완전히 둘러싸는 사각형을 만들어 보자.


그림 2. 너비가 W 이고 높이가 H 인 삼각형을 둘러 싸는 사각형.


2. 삼각형의 위쪽 꼭지점을 기준으로 수직선을 그어 두개의 사각형으로 나눈다.


그림3. 삼각형의 위쪽 꼭지점을 기준으로 두 개의 사각형을 만듦.


[ 그림 3 ] 을 보면 두 개의 사각형이 생기는데, 각 사각형은 동일한 면적을 가진 두 개의 삼각형( 합동인 삼각형 )으로 나뉜다. 결국 구하고자 하는 삼각형의 면적은 A + B 이다.


이제 실제로 계산을 해 보자.





 

보각과 여각.


보각이라는 것은 합이 180 도가 나오게 하는 각이고, 여각이라는 것은 합이 90 도가 나오게 하는 각이다. 연습문제에서는 여각에 대한 설명이 없이 그냥 구하라고 하고 있는데, 그러면 안 되지 ㅡㅡ;;


[ Honey's Math note ] 블로그의 [ 각, 각의 분류( 평각, 직각, 예각, 둔각, 보각, 여각 ] 을 참조하라.


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