[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 4. 삼각함수의 응용.

주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.

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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 4. 삼각함수의 응용.

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3장에서 협박을 한 고블린은 최종보스인지 떡밥만 던지고 나오지를 않는다. 이제부터 vector 나 물리 개념들이 나오면서 슬슬 머리가 아파지기 시작한다. 그런데 여전히 억지 설정들이 있기는 하지만, 평소에 생각지도 못한 부분들에서 삼각함수를 응용하는 걸 보면 재밌다( 고등학교때 물리 수학 공부를 열심히 안 해서리... 그냥 새롭다 ㅠㅠ ).

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원문 표기.

• 벡터 : vector.
• 속도 : velocity.
• 성분 벡터 : component vector.
• 마일 : mile ( = 1.609 km ).
• 원심력 : centrifugal force.
• 관성력 : inertial force; the force of inertia.
• 장력 : tension.
• 중력 : gravity.

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벡터의 합과 성분벡터.

책에서는 두 벡터의 합을 구할 때 "두 방향은 반드시 서로 직각이어야 한다는 점이다" 라고 이야기하고 있다. 그런데 사실상 벡터의 합을 구하기 위해서 벡터들이 서로 수직일 필요는 없다. 성분 벡터를 가지고 벡터의 합을 구하면 피타고라스 정리를 이용하기가 쉬울 뿐이다.

예를 들어서 "배가 시속 10 km 로 이동하는 물 위에 떠 있는데 다음과 같이 시속 5 km 로 바람이 불면 배는 1 시간 뒤에 어디에 있겠는가?" 라는 질문을 낼 수 있다( 이 때 배는 바람의 힘을 온전하게 받는다고 가정한다 ).

그림 1. 벡터 합 구하기 문제.

사실 이 문제를 풀기 위해서는 두 벡터의 좌표값까지 다 제시해야 하지만, 여기에서는 개념만 가시적으로 설명하려고 하기 때문에 생략한다.

이 두 벡터를 합하면 다음과 같은 결과가 나온다. 각 벡터를 다른 벡터의 화살표 끝에서 평행하게 같은 크기로 그어서 평형사변형을 만든다. 그러면 그 대각 벡터가 원하는 벡터가 된다.

그림 2. 벡터의 합 결과.

사실 이 결과는 두 벡터의 성분을 "성분" 별로 더한 것과 같은 결과이다. 이것을 해석하면 "파란 벡터만큼 이동한 후, 빨간 벡터만큼 이동한다" 가 된다. 반대 순서로 이동해도 결과는 동일하다. 왜냐하면 덧셈을 할 때는 순서가 상관이 없기 때문이다( 덧셈의 교환 법칙 ).

이것을 극단적으로 쉽게 확인할 수 있는 것이 축별 성분 벡터이다. 2D 좌표계에서 좌표는 ( x, y ) 로 표현된다. 이 좌표의 각 성분( 즉 'x' 와 'y' )는 각 축에서의 위치를 표현하고 있다. 그러면 축별 성분 벡터는 ( x, 0 ) 과 ( 0, y ) 을 의미하고 있음을 알 수 있다. ( x, y ) 는 ( x, 0 ) 과 ( 0, y ) 를 더하면 된다. 이 두 벡터를 더하면 ( x + 0, y + 0 ) 이다. 이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

그림 3. 성분 벡터.

위에서 이야기한 벡터끼리의 합은 이러한 성질을 이용해서 수행되는 것이다.

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속도의 수직 성분.

이 책을 읽다가 가끔 이해가 안 가는 부분이 생긴다. 대체 이 책의 수준을 어디에다가 맞추고 있는지 이해가 안 갈 때가 있다( 물론 전반적으로는 쉽게 설명하는 편이고, 이것도 그 전장에서 설명했던 내용들이다. 하지만 무조건 앞에 다 이해했다고 가정하기 보다는, 복습 개념으로 좀 설명을 해 주던가 아니면 "이해 안 가는 사람은 어디를 봐라" 라고 해 줬으면 좋았으리라 생각한다 ).

속도의 수직 성분이 대뜸 다음과 같은 공식처럼 제시된다.

이 식을 보고 "???" 하는 사람들이 있을 것이다. 이것은 닮은 삼각형의 성질을 생각해 보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있다. 빗변이 1 일때, 대변은 sinA 가 되고, 밑변은 cosA 가 된다. 그리고 닮은 삼각형의 ( 정비례 ) 성질을 이용하면, V₀ 일 때는 sinA 에 V₀ 을 곱해주면 되는 것이다. 사실 그냥 이해한 사람들도 많을 것이다. 하지만 아직 삼각함수나 그 응용에 익숙하지 않은 사람들은 갑자기 나오는 공식에 깜놀하지 않을까 생각한다. 나도 순간 "뭐지?" 했다.

그림4. 수직 성분 벡터 구하기. x 는 대변의 길이( 높이 )이다.

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미끄러운 경사길에서 증명 문제.

그림 4-11 에서 "두 각도 A 가 같음을 기하학적으로 증명해 보라" 라는 문제가 있다. 이것은 삼각형의 내각의 합은 180 도이고 직선은 180 도라는 성질을 이용하면 증명할 수 있다.

그림 5. 4-11 그림 기하학적으로 증명하기.