장력( Tension )

주의 : 공부하면서 정리한 것이므로 잘못된 내용이 포함될 수 있습니다.

주의 : 이상하면 참고자료를 참조하세요.

부탁 : 잘못된 점이 있으면 지적해 주시면 감사하겠습니다.

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[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 책을 보다가 너무 설명이 부실( ?, 제가 이해력이 딸릴 수도 있습니다 )하다는 생각이 들어서 장력에 대해서 좀 깊이 파보기로 했습니다.

그런데 의외로 장력에 대해서 정리하는 글들은 거의 없더군요. 심지어는 외국 사이트들에서도 장력에 대해서 ( 초보적인 관점에서는 ) 그리 많이 다루고 있지 않았습니다.  너무 쉬워서 자료가 없는건지 너무 어려워서 없는건지 모르겠더군요.

어쨌든 저의 경우에는, 모르는게 있을 때, 그것에 대해 정리를 하다가 보면 무엇을 이해했고 무엇을 이해하지 못했는지 명확해지더군요. 그래서 정리를 해 보기로 했습니다. 이것이 다른 분들에게도 도움이 되었으면 좋겠네요.

장력의 정의

[ 위키피디아 ] 에서는 "장력"이라는 것을 다음과 같이 정의합니다.

물리학에서 장력(tension, 문화어: 켕김힘)은 끈, 체인, 막대 등 1차원적 1차원 연속체의 한 점에 걸리는 힘이다. 다른 말로, 질량을 길이의 함수로 보았을 때 길이에 대해 미분한 양이 된다. 질량이 없는 경우 장력은 모든 끈에 균일하다. 장력은 언제나 끈의 방향과 나란하다. 보통의 일반역학에서 대부분 장력을 계산할 때, 끈의 무게는 무시할만큼 작다고 가정한다.

원자수준에서 원자나 분자는 전자기적 인력을 갖는데, 원자나 전자를 잡아당겨 멀어지게 하면 전자기 퍼텐셜 에너지를 갖게되며, 이는 곧 장력을 만들어낸다. 장력은 줄이나 막대의 늘어난 길이를 복구시키기 위해 서로 붙어있는 물체를 잡아당기게 한다.

장력은 압축의 반댓말이다.

물리학에서 장력은 힘이 아니지만, 힘의 단위를 가지며 뉴턴으로 측정된다. 장력은 줄이나 물체의 끝부분에서 그 줄이나 막대에 연결되어있는 물체에 대해 연결부에서 줄의 방향으로 힘을 가한다. 줄에 연결된 물체의 계에서는 두가지의 기초적 가능성이 존재한다. 가속도가 0이여서 계가 평형상태에 있거나, 가속도가 있지만 계의 알짜힘은 일정한 경우이다. 

출처 : [ 위키피디아 ]

가장 핵심적인 부분은 원자나 분자가 서로 당기는 힘을 가지고 있다는 점입니다. 저는 퍼텐셜 에너지가 정확히 뭔지 아직 잘 모르고 있기 때문에 그냥 "위치를 보존하려는 힘" 정도로 이해하고 넘어 갔습니다. 이에 대해 열심히 정리한 블로그( 7. 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지, 보존력, 에너지 보존법칙 )가 있기는 한데, 현재 저의 수준에서는 외국어로 보여서 명확하게 의미를 이해하기 힘들더군요.

그래서 저는 장력을 다음과 같이 단순하게 정의해 봤습니다.

원자나 분자 수준에서 서로 당기는 힘이 존재하고 그 상태를 깨려고 했을 때 복원하려는 힘( 장력 )이 존재한다.

여기까지는 개념적으로 이해하기가 매우 쉽습니다; "아! 뭔가 용수철같은 복원력이 있구나."

하지만 실전 문제에 들어가게 되면 멘붕( 멘탈붕괴 )에 빠지게 됩니다.

줄의 장력?

다음과 같은 문제들을 볼 수가 있죠. [ 생각하며 배우는 대학물리학] 의 물음 4-6 에서는 다음과 같은 질문을 합니다.

밧줄의 장력 세기는 얼마인가?

출처 : [ 생각하며 배우는 대학물리학] 의 물음 4-6.

[ 사이언스올의 과학백과사전 ] 에서는 장력에 대해서 다음과 같이 설명하는 부분이 있습니다.

( 전략 ... ) 즉 실에 걸린 장력은 물체에 작용하는 힘의 크기와 같다.

출처 : [ 사이언스올의 과학백과사전 ].

문제들을 보시면 알겠지만 기본적으로 장력이라는 것이 마치 "줄 전체에 적용되고 있는 힘"이라는 것처럼 이야기하고 있습니다.

이는 장력의 개념을 매우 헷갈리게 만듭니다. 위키피디아에서의 장력의 정의를 다시 보죠.

물리학에서 장력(tension, 문화어: 켕김힘)은 끈, 체인, 막대 등 1차원적 1차원 연속체의 한 점에 걸리는 힘이다. 다른 말로, 질량을 길이의 함수로 보았을 때 길이에 대해 미분한 양이 된다. 

출처 : [ 위키피디아 ]

( 위키피디아의 정의가 맞다는 가정하에서 볼 때 ) 분명히 정의에서는 "한 점에 걸리는 힘"이라고 이야기하고 있는데, 실전에서 보는 문제들은 "줄 전체에 걸리는 힘"인 것처럼 이야기합니다. 이러한 상황은 저같은 ( 정의에 민감한 ) 초보들을 매우 혼란스럽게 만듭니다.

이 때문에 나름 물리에 대해서 잘 아는 친구인 "햄짱"에게 이에 대해 어떻게 생각하는지 물어 봤습니다. 

그랬더니 다음과 같은 요지로 답변하더군요.

줄에 작용하는 장력이라는 것은 없다. 줄의 한 점에 작용하는 장력이 있을 뿐이다. 줄의 장력이라는 말 자체가 이상하다.

출처 : 햄짱.

그래서 또 다른 질문을 해 봤습니다. 

검색을 해 보면 일반적으로 "줄이 팽팽해졌을 때 작용하는 힘"이라고 이야기하던데, 그럼 팽팽하지 않을 때는 장력이 없는 것인가?

이에 대해서 다음과 같은 요지로 답변하더군요.

줄이 팽팽하지 않아도 장력은 존재한다. 줄을 잡아 당길 때 양쪽 끝이 완전히 팽팽해지지 않더라도, 자신이 잡아당기고 있는 부위를 다른 부위가 따라오기 때문에 이것은 장력의 증거이다. 장력이 없으면 따라 오지 않을 것이다.

출처 : 햄짱.

저는 이러한 답변이 이해가 안 가서 친구와 많은 이야기를 나눴습니다. 그리고 나서 어느 정도 개념 정리가 되었고, 제가 이해한 만큼 정리를 해 보기로 했습니다.

1 차원 연속체에서의 장력

줄이라는 것은 원자나 분자 수준에서 봤을 때 연속체의 집합입니다. 꼬였거나 이런 게 없이 그냥 등간격으로 연결되어 있다고 가정을 해 봅시다.

그림 1. 분자의 연속체로서의 줄.

한쪽에서 당길 때

그런데 이 줄을 제가 오른쪽에서 F 라는 힘으로 잡아 당겼다고 하죠. 만약 분자간에 서로 당기는 힘이 존재하지 않는다면, 그림 2 와 같은 상황이 벌어질 겁니다.

그림 2. 장력이 없을 때 끊어지는 줄.

하지만 실제로는 분자 사이에 당기는 복원력이 존재하고 있기 때문에 분자의 상대적 위치가 보존되어야 합니다. 그러려면 각 분자 사이에서 얼마만큼의 힘이 가해져야 할까요?

줄의 전체질량을 M 이라고 하고 하면 F = Ma 가 성립합니다. 그런데 각 분자가 장력에 의해서 서로 끌어당겨서 상대적인 위치를 보존한다고 하면, 결과적으로 모든 분자는 동일한 가속도로 운동하고 있어야 합니다. 분자의 개수를 n 이라고 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.

식 1.

생각을 좀 단순하게 하기 위해서 분자들간에 가상의 줄이 연결되어 있다고 합시다. 그 가상의 줄은 질량이 없습니다. 그냥 거기에 힘이 작용한다는 것을 설명하기 위해서 넣은 가상의 줄이므로 분자 사이의 공간에 적용되는 힘이라고 보셔도 됩니다.

그림 3. 한쪽으로 당기는 힘.

그러면 T₀ 에서는 전체 분자를 끌고 와야 합니다. 전체 분자에 적용되므로 T₀ = mna = Ma = F 입니다.

그리고 T₁ 에서는 n - 1 개의 분자를 끌고 와야 합니다. 그러므로  T₁ = m( n - 1 )a 입니다.

이런 식으로 했을 때, 마지막 T_n 에서는 1 개의 분자를 끌고 와야 하므로 T_n = ma 입니다.

양쪽에서 당길 때

이제는 양쪽에서 이 분자로 구성된 줄을 끌고 있는데, 양쪽 다 F 라는 힘으로 끌고 있다고 해 보죠.

그림 4. 양쪽으로 동일하게 당기는 힘.

자 여기에서 힘의 합력은 0 입니다. F 가 반대 방향으로 작용하죠. 그러면 가속도 a = 0 입니다.

그러면 장력이 0 인 걸까요?

분명히 용수철을 양쪽에서 동일한 힘으로 당기면 용수철은 늘어납니다. 장력이 있다는 소리죠. 이건 어떻게 된걸까요?

[ 위키피디아 ] 의 내용을 더 살펴 봅시다.

장력은 음의 값이 아닌 스칼라양이다. 장력이 없다면 늘어진 상태인 것이다.

출처 : [ 위키피디아 ].

장력에는 방향이 없다는 이야기입니다. 어떤 힘에 대한 반작용으로서 발생하는 힘( ? )입니다.

물리학에서 장력은 힘이 아니지만, 힘의 단위를 가지며 뉴턴으로 측정된다.

출처 : [ 위키피디아 ].

그러므로 작용하는 힘에 대한 반작용으로서의 장력들이 모두 합쳐져야 합니다. 그림 5 와 같은 형태로 적용됩니다( 위키피디아의 설명으로부터 개념을 이해하기까지 참으로 많은 고민을 했습니다. OTL ).

그림 5. 장력의 합력.

결국 각 분자 사이에서는 동일한 장력이 발생합니다.

이를 [ 위키피디아 ] 에서는 "평형상태의 계" 라 설명하고 있습니다.

모든 힘의 합이 0 일 때, 계는 평형상태에 있다.

예를 들어, 계 내에 수직한 방향으로 등속으로 낙하하는 물체에 장력 T의 실이 걸려있다고 생각해보자. 계는 일정한 속도를 가지며, 물체를 위로 잡아당기는 장력의 크기와 아래로 잡아당기는 중력의 크기가 같으므로 평형상태에 있다고 할 수 있다.

출처 : [ 위키피디아 ].

만약 한쪽으로만 당기거나 어느 한 쪽에서 당기는 힘이 더 크다면 "알짜힘이 존재하는 계" 라 설명하고 있습니다.

가해진 힘이 균형을 이루지 못해 계 내에 알짜힘이 존재할 경우, 힘의 합력은 0이 아니다. 알짜힘과 가속도는 함께 존재한다.

예를 들어, 위의 상황과 같지만 물체가 양(+)의 가속도를 가지며 아래방향으로 속도가 점점 증가한다고 가정해 보자. 이 상황에서 물체에는 알짜힘이 가해지며, 다음과 같다.

출처 : [ 위키피디아 ].

[ 위키피디아 ] 에서는 천장에 고정된 끈에 매달린 공이 있을 때, 거기에 작용하는 힘들을 도식화하고 있는데, 각 지점에서의 장력에 대해 복합적으로 고민해 볼 수 있는 단초가 됩니다( 그림 6 ). 

그림 6. 작용과 반작용. 출처 : [ 위키피디아 ].

줄이 천장에 매달려 있을 때, 천장과 붙은 부분에서는 수직항력에 대한 장력이 발생하고 공에 붙은 부분에서는 중력에 대한 장력이 발생합니다. 줄 중간에서는 수직항력과 중력에 대한 장력이 발생합니다.

3 차원 연속체에서의 장력

3 차원에서는 면적이 생기는데요, 일반적으로는 단면적에 대한 축방향력을 장력으로 사용한다고 합니다. 여러 다발의 1 차원 줄이 있다고 생각해 보죠.

그림 7. 여러 개의 1 차원 줄이 모여 형성한 3 차원 줄.

그런데 이를 구하기는 너무 어려워서 일반적으로 단면적을 기준으로 하는 변형력이라는 개념을 사용한다고 합니다.

막대나 트러스같은 3차원 연속체의 끝부분에서 가해지는 힘을 표현할때도 장력을 이용한다. 막대를 늘리거나 할때 이를 이용한다. 힘 또는 단위 단면적당 힘에대해 늘어난 정도를 계산할 경우 잘 안될 것이므로, 공학을 목적으로는 장력보다는 변형력 = 축방향력/단면적 으로 계산하는 것이 더 나을 것이다. 변형력은 텐서의 3x3행렬이며, 변형력 텐서의 성분 σ₁₁ 은 단위면적당 인장력이다(또는 단위면적당 압축력인데, 막대가 늘어나는 경우가 아닌 압축되는 경우에는 이 성분을 이용해서 음수를 나타낸다).

출처 : [ 위키피디아 ].

최대 인장 강도

장력은 주어진 힘에 대한 반작용으로 발생합니다. 주어진 힘에 의해서 원자나 분자가 당겨질 때, 위치를 복원하려고 발생하는 반작용 힘입니다. 

그래서 힘이 세질수록 장력도 세지는데요, 어느 한계에 도달하면 복원하려는 힘( 장력 )보다 당기는 힘이 더 세지게 됩니다. 이렇게 되면 원자나 분자의 결합이 떨어지게 됩니다.

절벽에서 어떤 사람이 내 손을 잡고 매달려 있는데, 처음에는 손바닥을 잡다가, 점점 미끄러져 손끝으로만 버티다가, 완전히 손에 떨어지는 것을 생각해 볼 수 있겠죠( 너무 비유가 살벌한가요... )

장력으로 버틸 수 있는 최대 힘을 최대 인장 강도라 부릅니다. 이것도 3 차원이라서 단면적을 기준으로 하더군요.

인장 강도(tensile strength, TS) 또는 극한 강도(ultimate strength)라고 하는 극한 인장 강도(Ultimate tensile strength, UTS)는 재료의 세기를 나타내는 힘으로, 재료가 절단되도록 끌어당겼을 때 견뎌내는 최대 하중을 재료의 단면적으로 나눈 값을 말한다. 인장 강도는 장력 강도라고 하기도 한다.

출처 : [ 극한 인장 강도 ].

그러나 실전 문제에서는 ...

일반적으로 연결된 물체의 장력을 계산할 때는 어떤 물체에 전달되는 힘을 뺀 나머지 힘을 장력이라고 설명합니다. 예를 들어 [ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 이라는 책에서는 연결된 물체 사이의 질량이 0 인 끈에 작용하는 장력을 다음과 같이 계산합니다.

그림 8. [ 생각하면서 배우는 대학물리학 ] 에서의 연결된 물체의 장력.

이것만 보면 "장력 = 힘 - 특정 물체까지 작용한 힘" 이라고 단순하게 생각하게 됩니다. 하지만 다음과 같은 상황들을 만나게 되죠. 

• 두 물체에 작용하는 마찰계수가 다르다면?
• 두 물체가 도르레에 의해서 연결되어 있고 마찰력이 존재한다면?
• 두 물체가 한쪽에서 끌어당기는 것이 아니라 막대로 연결되어 있고, 중력에 의해서 스스로 운동하고 있는 상황인데, 마찰계수도 서로 다르다면?
• N 개의 물체가 각각 끈에 의해서 연결되어 있고, 위와 같은 복잡한 상황이라면?

[ 생각하면서 배우는 대학물리학 ] 에서는 연습문제를 통해 이런 상황들에 대해서 다루게 됩니다. 이런 문제들을 접했을 때 앞의 관점( 제가 처음 이해한 관점 )에서 문제를 풀면 반드시 오답이 나옵니다. 제가 푼 연습 문제들 중에서 장력 문제들은 거의 다 오답이었습니다. 글을 쓰는 현재도 열심히 수정하는 중이죠. 여기에서 책의 설명이 잘못되어 있다고 이야기하고 있는 것은 아닙니다. 이 설명을 잘못 받아들이면 문제를 제대로 풀수가 없다는 것을 이야기하고자 합니다.

이러한 문제가 발생하는 것은 "힘" 이라는 것을 다르게 이해하고 있기 때문입니다. 이 때문에 물잘알 친구 햄과 엄청난 시간의 토론을 해야만 했습니다. 제가 잘못된 전제에서 접근을 하고 있었기 때문에 도저히 대화가 통하지 않았던 것이죠.

정리하자면 "특정 물체의 알짜힘" 으로부터 장력을 구해야 합니다. 이 문서를 읽고 있는 분들이 알짜힘의 의미에 대해서는 이해하고 있다고 간주하겠습니다.

그림 8 의 경우를 보죠. 이를 제대로 이해하기 위해서는 특정 물체의 알짜힘의 관점에서만 생각해야만 합니다.

그림 9. 특정 물체를 알짜힘을 중심으로 본 장력과 힘의 관계.

그림 8 에서는 물체들을 끈으로 당기고 있고 마찰력이 없으므로 물체에 F₀ 와 T 만이 작용하고 있습니다. 물론 T 는 우리가 모르는 가상(?)의 장력입니다. 양쪽에서 뭔가 잡아 당기고 있으니 그것의 합력으로부터 알짜힘을 구하게 된 것이죠. 그래서 아래와 같은 식이 성립합니다.

식 2.

결국 그림 8 에 나온 식인 (4.10) 과 다를 건 없습니다. 하지만 다른 조건이 들어 가기 시작하면 결과가 달라집니다. 예를 들어 두 물체가 다 굴러 가고 있다고 하죠. 그리고 두 물체의 가속도 및 속도가 같습니다. 끈 대신 막대가 있죠. 이 때 장력은 얼마일까요?

그림 10. 막대에 의해 이어져 있고 같은 속도로 운동하는 두 물체.

이제 처음에 오해했던 대로 식을 한 번 써 볼까요?

식 3.

답이 나오기는 했지만 뭔가 찝찝합니다. 왜냐하면 두 물체가 같은 속도로 스스로 움직이고 있을 때 중간에 끼어 있는 막대에 뭔가 힘이 가해지지 않을 것이라는 것을 직감적으로 이해하고 있기 때문입니다. 그냥 중간에 끼어 있는 것 뿐이지 첫 번째 물체가 두 번째 물체를 잡아 당기는 느낌이 아니라는 것을 알고 있는 것이죠.

여기에서 간과하고 있는 것은 두 물체가 스스로 움직이고 있다는 점입니다. 즉 스스로 가속하는 힘이 존재하고 있는 것이고 이것을 F₀ 로 당기고 있다는 식으로 접근하면 안 되는 것이죠. 스스로 가속하는 힘을 T( Translation ) 라는 아래첨자로 표현하면 각각은 다음과 같이 표현됩니다.

그림 11. 올바로 해석한 알짜힘.

그러면 실제 알짜힘은 다음과 같습니다.

식 4.

마찰력이 없다고 가정하고 있으므로 그건 다음과 같겠죠.

식 5.

그리고 문제에서 F_T2 가 다음과 같이 주어졌다고 가정하겠습니다.

식 6.

식 5 와 식 6 에 의해 장력은 다음과 같이 구해집니다.

식 7.

장력이라는 것은 이렇게 상황에 맞는 알짜힘을 통해서 구해야 합니다.

장력이라는 것이 실제로 작용하는 힘들에 대한 분석을 통해서 구하는 것이기 때문에 어렵습니다. 저도 아직 장력 관련 문제를 풀 때마다 헤매는데요, 다양한 상황에 대한 문제들을 접해 보고 힘의 합성과 분해에 대해 더 깊이 이해하면 익숙해지리라 생각합니다.