모멘트( moment )

주의 : 공부하면서 정리한 것이라서 잘못된 내용이 있을 수 있습니다.

주의 : 이 글은 위키피디아의 모멘트를 주요 레퍼런스로 하여 작성되었습니다. 내용이 이상하면 원문을 참조하세요.

 

모티브

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제가 물리 공부를 하다가 제일 먼저 접하게 된 헷갈리는 개념은 모멘트( moment )였습니다. [ 게임 개발자를 위한 물리 ] 같은 책에서는 질량관성모멘트( mass moment of interia )를 구하겠다면서, 뜬금없이 "질량계", "점질량", "1차 모멘트", "2차 모멘트" 등에 대한 별다른 설명없이, 그냥 계산식을 내 놓습니다. 고등학교 물리 정도는 대충 이해한 독자를 대상으로 한다고 서문에 써져 있기는 했지만, 저는 고등학교 졸업한지 20 년이 지난지라 이해할 수 없더군요.

 

하여간 검색해 보니, 대부분의 사람들은 추상적으로 계산 과정에 대해서만 다루고 모멘트 자체의 의미에 대해서는 설명하지 않더군요. 심지어는 모멘트와 모멘텀( momentum, 운동량 )에 대해서 헷갈리는 사람들도 있구요, "토크가 모멘트다"라고 하는 사람들도 있더군요. 그래서 이번 기회에 저와 같이 모멘트가 뭔지 모르는 사람들을 위해서 개념을 정리해 봐야겠다는 생각을 했습니다.

 

모멘트의 개념

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위키피디아의 정의에 의하면 모멘트는 다음과 같습니다.

 

물리에서, 모멘트는 물리량( physical quantity )와 거리의 조합이다. 모멘트는 보통 기준( reference point )이나 축( axis )에 대해 정의된다; 모멘트는 물리량을 기준이나 축으로부터 일정 거리를 가진 것으로서 다룬다. 예를 들어 힘의 모멘트( moment of force )는 힘과 어떤 축으로부터의 거리의 곱인데, 이는 그 축에 대한 회전을 산출한다. 기본적으로 모멘트를 생성하기 위해서 어떤 물리량이라도 거리와 곱해질 수 있다; 보통 물리량은 힘( force ), 질량( mass ), electric charge distribution 이 사용된다.

 

- 출처 : Moment (Physics), Wikipedia.

 

간단하게 정리하자면, 모멘트는 어떤 기준에 대한 "거리 X 물리량" 을 의미합니다. 마치 내적( dot product )이나 외적( cross product )과 같은 개념이라고 생각하시면 됩니다. 일종의 함수라고 생각해야 한다고 할까나요? 내적과 외적은 수학적으로 보면 두 벡터를 곱하고 더하는 순서를 의미할 뿐입니다. 하지만 각각은 기하학적인 관점에서 보면 다른 의미를 가지고 있습니다. 마찬가지로 모멘트도 특정 상황에서 실질적인 의미를 가진다고 보시면 됩니다.

 

모멘트의 일반적인 표현식은 다음과 같습니다. 하지만 반드시 아래와 같은 형태인 것은 아닙니다. 왜냐하면 거리와 물리량의 조합이라는 것이 반드시 스칼라 곱을 의미하는 것은 아니기 때문입니다.

 

 

여기에서 Q 는 물리량( physical quantity )이고, r 은 거리입니다. 그런데 거리라는 것은 단순한 스칼라가 아니라 벡터일 수 있습니다. n 은 차수이구요. 만약 n = 1 이면 1차 모멘트라고 하고, n = 2 이면 2차 모멘트라고 합니다.

 

만약 물리량이 단일 점에 국한된 것이 아니라면 모멘트는 공간에서의 물리량들의 밀도에 대한 적분입니다.

 

 

여기에서 ρ 는 밀도입니다.

 

현재 시점에서는 내적이나 외적같이 그냥 공식으로서의 의미만 가지고 있습니다. 이제 이 모멘트가 어떤 식으로 사용되는지 한 가지 예를 들어 보도록 하겠습니다.

 

Torque

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모멘트가 가장 단순한 형태로 사용되는 것은 토크( torque )입니다. 우리말로는 돌림힘이라고 합니다.

 

토크는 moment of force 를 의미하는데, 일반적으로 줄여서 그냥 moment 라고 하기도 한다고 합니다. 그래서 "토크가 모멘트다" 라는 말은 틀렸다고는 할 수 없지만, 엄밀한 정의를 생각하면 사용하지 않는 것이 낫지 않나라는 생각을 해 봅니다. 예를 들어 단위 벡터 A 와 어떤 벡터 B가 있을 때 A 와 B 를 내적하면, 그 결과는 B 를 A 에 사영한 길이가 나옵니다. 그렇다고 해서 내적의 정의를 "A 와 B 가 있을 때, B 를 A 에 사영한 길이이다" 라고 할 수는 없는 것이지 않겠습니까. 특수한 상황이고 자주 사용되는 상황이라고 해서 그냥 정의를 혼용해서 쓰는 것은 혼란을 가중시킨다고 생각합니다.

 

어쨌든 토크는 어떤 축( axis ), 받침점( fulcrum ), 중심( pivot )에 대해서 회전하게 하는 힘의 경향( tendency )를 의미합니다. 수학적으로 볼 때 토크는 힘이 적용되고 있는 점에 대한 위치 벡터와 회전을 유발하는 힘 벡터간의 외적입니다.

 

 

 

위의 식을 보면 거리 벡터와 힘 벡터의 조합임을 확인할 수 있습니다.

 

결론

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모멘트는 거리와 물리량의 조합으로서, 다양한 물리량을 표현하기 위해서 사용됩니다. 그것의 활용예는 다양합니다. 위키피디아의 모멘트 항목의 See also 를 참조하시기 바랍니다.

추가 : [ http://contents.kocw.net/KOCW/document/2015/kumoh/ohchungseok/8.pdf ] 에 따르면 모멘트를 다음과 같이 정의하더군요.