[ 번역 ] Moment of inertia 일부 번역

원문 : Moment of inertia, Wikipedia

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Moment of inertia

이 기사는 회전하는 오브젝트의 질량 관성 모멘트( mass moment of inertia )에 대한 것입니다. 빔의 휨( beam bending )에서의 단면 관성 모멘트에 대해서 알고자 한다면 second moment of area 를 참조하십시오.

강체( rigid body ) 의 질량 관성 모멘트( moment of inertia )는 다른 말로는 각질량( angular mass )이나 회전 관성( rotational inertia ) 이라고도 알려져 있는데, 이는 회전 축에 대한 각 가속도( angular acceleration )를 위해 필요한 토크( torque, 돌림힘 )을 결정하는 텐서( tensor, 긴장 )입니다.  이는 물체( body )의 질량 분포( mass distribution ) 및 선택된 축에 의존하며, 모멘트가 클수록 바디의 회전을 변경하는데 더 많은 돌림힘이 요구됩니다. 이는 extensive( additive ) property^[각주:1] 입니다 : 복합시스템의 관성 모멘트는 ( 같은 축에 대해 수집된 ) 그것을 구성하는 서브시스템의 관성 모멘트의 합입니다. 그것의 정의들 중 하나가 축 r 로부터의 거리 관점에서의 질량에 대한 2차 모멘트이며, 전체 질량 Q 에 대한 적분입니다.

평면에서 회전하도록 제약이 걸려있는 물체들에 대해서는, 평면과 수직인 축에 대한 관성 모멘트만 고려해도 충분합니다. 3 차원에서 자유롭게 회전하는 물체들에 대해서는, 그것들의 모멘트들은 대칭 3x3 행렬에 의해 기술될 수 있습니다; 각 물체는 상호 수직적인 축들( mutually perpendicular axes )의 집합을 가지는데, 이 행렬은 대각행렬이며 그 축들에 대한 토크들은 다른 축들과는 독립적으로 작용합니다.

Introduction

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물체가 축 주변을 회전하거나 자유롭게 회전할 때, 그것의 각 운동량( angular momentum )을 변경하기 위해서는 토크가 작용해야만 합니다. 각 운동량을 주어진 비율로 변경하기 위해 필요한 토크의 양은 물체의 관성 모멘트에 비례합니다. 관성 모멘트는 표준 단위계에서는 killogram-squre meters( kg ˙ m² )로 표현되며 imperial 이나 US 단위계에서는 pound-squre feet( lb_m ˙ ft² )으로 표현됩니다.

회전 운동역학( rotational kinetics )에서의 관성 모멘트는 선형 운동역학에서의 질량( 관성 )과 같은 역할을 수행합니다 - 둘다 물체의 움직임을 변경하는데 대한 저항으로써 작용합니다. 관성 모멘트는 회전 축 주변에 질량이 어떻게 분포되어 있느냐에 의존하며, 이는 어떤 축이 주어졌냐에 따라 매우 다양합니다. 점질량의 경우에, 어떤 축에 대한 관성 모멘트는 d²m 으로 주어지는데, 여기에서 d 는 축으로부터의 거리이며 m 은 질량입니다. 확장된 물체( extended body )의 경우에, 관성 모멘트는 작은 조각의 질량에다가 선택된 축으로부터의 거리의 제곱을 곱한 것들의 전체 합일 뿐입니다. 표준적인 모양을 가지고 균일한 밀도를 가진 확장된 물체의 경우에는, 보통 이러한 합은 오브젝트의 차수, 모양, 전체 질량등에 의존하는 간단한 식으로 표현될 수 있습니다.

1673 년에 Christiaan Huygens 는, 복합 진자( compound pendulum )라 알려진, 회전축( pivot )에 매달린 물체의 진동에 대한 자신의 연구에서 이 파라미터를 소개했습니다. 관성 모멘트라는 개념은 Leonhard Euler 에 의해 1765 년에 그의 저서인 Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum 에서 소개되었으며, 이는 Euler's second law 에 통합되었습니다.

복합 진자의 자연적 진동 주파수는 진자의 질량에 작용하는 중력으로 인해 발생하는 토크와 관성 모멘트에 의해 정의되는 가속도에 대한 저항의 비율로부터 획득됩니다( 역주 : 문장이 길어서 헷갈리는데, "토크 vs 저항" 이라고 보심 될듯합니다 ). 이 자연적 주파수를 점질량으로 구성된 단순 진자의 주파수와 비교하는 것은 확장된 물체의 관성 모멘트를 위한 수학적 공식을 제공합니다.

관성 모멘트는 강체의 운동량( momentum ), 운동 에너지( kinetic energy ), 뉴턴의 운동 법칙( Newton's laws of motion )에서 모양과 질량을 겹합한 물리적 속성으로서 나타나기도 합니다. 평면적( planar ) 이동과 공간적( spatial ) 이동에서 관성 모멘트가 나타나는 방식에는 흥미로운 차이점이 있습니다. 평면적 이동은 관성 모멘트를 정의하는 단일 스칼라( scalar ) 값을 가지는 반면, 공간적 이동은 같은 계산이 관성 모멘트에 대한 3 x 3 행렬을 산출하며, 이는 관성 행렬 혹은 관성 텐서라 불립니다.

회전하는 플라이휠( flywheel, 기계나 엔진의 회전속도에 안정감을 주기 위한 무거운 바퀴 - 네이버 사전 )의 관성 모멘트는 회전 출력을 부드럽게 만들기 위해 적용되는 토크의 다양성( variation )에 저항하기 위해 기계에서 사용됩니다. 비행기의 장축, 수평축, 수직축에 대한 관성 모멘트는 자신의 날개, 뒷날개( elevator ), 꼬리의 제어면( control surface )에 적용되는 steering forces 가 비행기의 roll, pitch, yaw 에 미치는 영향을 결정합니다.

Definition

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관성 모멘트 I 는 주축( principal axis ) 주위의 각속도( angular velocity ) ω 에 대한 계( system )의 각운동량( angular momentum ) L 의 비율로서 정의됩니다.

계의 각운동량은 상수입니다. 그래서 관성 모멘트가 작아질수록 각속도는 증가해야만 합니다. 이는 회전하고 있는 피규어 스케이터가 더 빠른 회전을 위해 바깥으로 뻗은 팔을 당기거나 다이빙 선수가 자신의 몸을 껴안기 형태로 굽힐 때 발생합니다.

회전하는 피규어 스케이터는 팔을 안으로 당김으로써 관성 모멘트를 줄일 수 있습니다.

이는 스케이터가 더 빠르게 회전하게 만드는데, 

그 이유는 각운동량 보존 법칙( conservation of angular momentum ) 때문입니다.

물체의 모양이 변하지 않으면, 그것의 관성 모멘트는 뉴튼의 운동 법칙에서 주축 주변의 각가속도( angular acceleration )에 대한 물체상에 적용된 토크 τ 의 비율로 나타납니다.

단순 진자( simple pendulum )에서 이 정의는 진자의 질량 m 항과 회전 중심으로부터의 거리 r  항으로 관성 모멘트 I 를 위한 공식을 산출합니다.

그러므로, 관성 모멘트는 물체와 그것의 지아메트리( geometry ) 혹은 모양( shape )의 질량 m 과 회전 축으로부터의 거리 r 에 모두 의존합니다.

이 단순한 공식은 임의의 모양을 가진 물체를 위한 관성 모멘트를 정의하기 위해서 일반화됩니다. 점질량 dm 을 축 S 에 대한 수직 거리 r 의 제곱과 곱한것을 모두 더함으로써 이루어집니다.

일반적으로, 질량 m 을 가진 물체가 주어졌을 때, 유효 반지름( effective radius ) k 는 질량 중심을 관통하는 축을 위해서 정의될 수 있으며, 그러한 물체의 관성 모멘트의 값은 다음과 같습니다.

여기에서 k 는 선회 반경( radius of gyration )이라 알려져 있습니다.

Simple pendulum

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관성 모멘트는 단순 진자를 사용해서 측정될 수 있습니다. 왜냐하면 그것은 중력에 의해서 발생되는 회전에 대한 저항이기 때문입니다. 수학적으로 볼 때, 진자의 관성 모멘트는 ( 역주 : 끈이 고정된 ) 회전 중심에 대한 진자의 각가속도에 대한 진자의 회전중심에 대해 작용하는 중력 때문에 발생하는 토크의 비율입니다. 단순 진자의 경우, 이는 입자의 질량 m 과 회전축에 대한 거리 r 의 제곱의 곱으로 표현됩니다.

이는 다음과 같이 보일 수 있습니다: 단순 진자의 질량에 적용되는 중력의 힘은 진자 이동 평면에 수직인 축 주변의 토크를 생성합니다. 

여기에서 r 은 거리벡터인데 이는 토크 축에 대한 힘과 수직으로 작용합니다. 여기에서 F 는 질량에 대한 알짜힘( net force )의 탄젠트 요소( tangential component ) 입니다. 이 토크와 연관된 것은 끈의 각가속도 α 와 이 축 주변의 질량입니다. 그 질량은 원으로 제한되므로, 질량에 대한 접선 가속도( tangential acceleration )는 다음과 같습니다.

F = ma 이기 때문에, 토크 공식은 다음과 같습니다:

여기에서 e 는 진자 평면과 수직인 단위 벡터입니다( 두 번째 단계에서 마지막 단계로 가는 것은 BAC-CAB rule( vector triple product )때문인데, 이는 α가 항상 r 에 수직임을 이용합니다 ). I = mr² 이라는 물리량은 회전 중심 주변의 단일 질량에 대한 관성 모멘트입니다.

 I = mr² 은 단순 진자의 각운동량에서도 나타나는데, 여기에서는 회전축 중심의 진자 질량에 대한 속도 v = ω x r 로부터 계산되는데, 여기에서 ω 는 회전 중심 주변의 질량에 대한 각속도입니다. 이 각운동량은 다음에 의해 주어집니다.

그것과 비슷한 수학이 이전 공식을 유도하는데 사용되었습니다.

이와 유사하게 진자 질량에 대한 운동 에너지( kinetic energy )는 회전축 중심의 진자의 가속도에 의해서 정의됩니다.

이는  I = mr² 물리량은 회전 관성을 정의하기 위해서 물체의 모양과 질량을 결합한 것임을 보여줍니다. 임의의 모양을 가진 물체의 관성 모멘트는 물체 내의 질량 모든 질량 요소들에 대한 mr² 값의 합입니다.

1. Intensive property 는 측정된 물질의 전체 양에 의존하지 않는 값을 가지는 물리량이며, extensive property 는 하위시스템들을 합산한 만큼의 양을 가지는 물리량을 의미합니다. [본문으로]