[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 9. 파동

주의 : 이 문서는 책의 요약본이 아닙니다. 책을 보다가 이해가 잘 안 되는 내용, 재밌었던 내용, 보충해야 할 만한 내용 등을 정리해 놓은 일종의 노트같은 것입니다. 개인적으로는 정기적이고 의미있게 책을 보려는 시도이며, 이 책을 보는 다른 사람에게도 도움이 되었으면 좋겠습니다.

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[ 이야기로 아주 쉽게 배우는 삼각함수 ] 9. 파동

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이 장은 드디어 파동에 대한 내용을 다룬다. 아주 단순한 사실로부터 시작해서 파동을 이해하기 쉽게 설명하고 있다. 물론 아무 생각없이 읽어도 될 정도는 아니다.

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원문 표기

파동 : wave.

조화 파동 : harmonic wave.

정상파 : stationary wave.

고조파 : harmonic.

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조화 파동 함수

책에서 조화 파동을 정의하기 전까지만 해도 "아 그렇구나" 하면서 끄덕끄덕하게 된다. 조화 파동의 공식을 유도해 가는 과정이 참 흥미롭다. 그런데 막상 공식이 나오면 "헉" 소리가 나온다.

여기에서 나를 힘들게 만든 것은 두 가지였다.

• x 와 t 라는 두 개의 변수가 나온다( 지금까지 우리가 본 건 항상 변수가 하나였다; x 나 t ).
• 파동수와 주파수의 개념이 헷갈린다.

파동이라는 것이 제자리에서 가만히 있지 않고 시간에 따라 다른 위치로 전달되기 때문에 복잡한 함수가 나오게 되는데, 처음 볼 때는 참 이해하기 힘든 것 같다. 조화 파동 함수를 책을 보지 않고 유도해 보는 것이 확실히 이해하는 데 도움이 될 것 같다.

[ 파동의 표현 ] 이라는 글도 읽어 볼 만 하다.

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정상파 함수

교수가 뜬금없이 공식을 도출한다. 처음에 보고 이것도 "헉" 소리가 나왔다. 이건 너무 중간 단계를 뛰어 넘은 것 같다. 다음과 같은 식으로 설명했으면 좋았을 것 같다.

라는 함수를 생각해 보자. y 값의 범위는 [ -A, A ] 이다. 그런데 x 라는 변수만 있다면 시간에 따라서 진동하지 않고 제자리에 가만히 있게 된다. 그러므로 시간과 관련한 변수 t 가 필요하다.

y 값의 범위를 [ -A, A ] 를 유지하면서 시간 t 에 따라서 왔다 갔다 하게 만들려면 어떤 함수가 더 필요하다. 다음과 같은 형식이 될 것이다.

이 F 라는 함수를 곱했을 때 그것의 범위가 [ -1, 1 ] 까지라면 여전히 [ -A, A ] 를 유지하는 것이 가능하다. 우리는 그러한 함수를 하나 알고 있다. 바로 sin 함수이다. 시간에 따라서 [ -1, 1 ] 을 반복하는 함수는 이다. 그냥 t 만 써도 되지만 omega 를 붙인 이유는 지금까지 우리가 배워 왔던 단위나 개념을 유지하기 위해서이다. 그래서 최종 함수는 다음과 같이 결정될 수 있다.

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고조파

책에서는 정수배의 주파수를 가진 파동들에 대해서 이야기를 하기는 하는데, 용어를 안 알려 줬다. 원래 주파수에 대한 정수배의 주파수 성분을 고조파( harmonic )이라고 부른다. 우리가 음악에 대해 이야기할 때 "화음이 맞다"라는 표현에서 '화음'의 영문 표현인 'harmony' 도 같은 어원을 가지는 것 같다.

아래 그림은 줄에서의 고조파를 보여 준다.

그림1. 줄에서 고조파 만들기. 출처 : Harmonic. Wikipedia.

아래 그림은 실제 악기에서 고조파가 어떤 식으로 동작하는지 보여 준다.

그림 2. 기타줄에서 harmonic. 출처 : Harmonic. Wikipeda.