[ 번역 ] Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces

원문 : https://www.cs.cornell.edu/~srm/publications/EGSR07-btdf.pdf

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Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces

Bruce Walter

Stephen R. Marschner

Hongsong Li

Kenneth E. Torrance

Program of Computer Graphics, Cornell University

Beijing Institute of Technology

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Abstract

미세면 모델은 거친 서피스로부터 반사되는 빛을 모델링하는 데 있어서 매우 성공적이라고 증명되어 왔습니다. 우리는 이 논문에서 미세면 이론에 대해서 리뷰하고 식각 글라스( etched glass, 역주 : etching 은 화학약품을 사용해서 특정 부위만 부식시키는 것을 의미함 )와 같은 거친 서피스를 통과하는 투과( transmission, 전송, 전파 )을 시뮬레이션하기 위해서 확장될 수 있는 방법에 대해서 설명합니다. 우리는 몇 개의 실제 서피스들로부터 가져 온 측정 데이터와 최종 투과 모델을 비교하고 미세면 분산 함수와 그림자-마스킹( shadowing-masking ) 함수를 적절히 선택하는 방법에 대해 논의합니다. 매질을 투과하는 빛을 렌더링하는 것은 적어도 두 개의 인터페이스( interface )를 가로지르는 빛을 트래킹( tracking )할 것을 요구하기 때문에, 좋은 중요도 샘플링( importance sampling ) 방법이 필요합니다. 그러므로 우리는 미세면 모델들을 샘플링하는 함수 및 그것과 연관된 확률 밀도 함수( probability density function )들에 대한 효율적인 책략에 대해서도 설명할 것입니다.

Categories and Subject Descriptos (according to ACM CCS): I.3.7 [Three-Dimensional Graphics and Realism]: Keywords: Refraction, Microfacet BTDF, Cook-Torrance Model, Global Illumination, Monte Carlo Sampling

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1. Introduction

반사가능한 매질로의 투과는 유리나 물같은 매우 투명한 매질( media )이나 피부나 대리석같은 반투명한 매질을 포함하는 다양한 재질의 외형을 결정하는 데 있어서 중요한 요소입니다. 매질의 경계가 부드럽다면, 굴절( refraction )에 대한 Snell 의 법칙을 사용해 투과를 쉽게 모델링하게 됩니다. 그러나 경계가 거칠다면, 컴퓨터 그래픽에서 사용할 만한 물리에 기반해 입증된 모델이 부족합니다.

이 논문에서, 우리는 먼저 미세면 이론에 대해서 리뷰한 후, 하프 벡터에 대한 일반화 기법을 사용해 재질 사이의 거친 경계에서 반사( reflection )와 굴절( refraction )을 모델링하는 방법에 대해서 보여 줍니다. 이는 완벽한 분석적( analytic ) BSDF 모델을 제공하는데, 이는 그림 1 에 나온 식각 글라스 글로브( etched glass globe )와 같은 거친 투과성 재질을 시뮬레이션하는데 사용될 수 있습니다. 우리의 목표 중 하나는 구현자들을 위한 완벽하고 자족적인( self-contained, 역주 : 내부적으로 모든 구현이 완비된 ) 참조를 제공하는데 있으며, 그래서 우리는 필요한 모든 공식들을 제공하고 분산, 그림자-마스킹, 중요도 샘플링을 선택하는 것과 같은 실용적 이슈들에 대해서 논의할 것입니다. 전송된 빛은 적어도 두 개의 인터페이스를 통과해야 하는데, 효율적인 렌더링을 위해서는 중요도 샘플링이 매우 중요합니다.

그림 1: 식각( etched ) 세계 지도를 사용한 유리 구.

우리 미세면 굴절 모델을 사용해서 시뮬레이션 됨

(텍스쳐 맵에 의해 러프니스가 곱해진 Beckmann 분산).

또한 우리는 4 개의 실세계 서피스들로부터 가져 온 실측 데이터와 우리의 미세면 모델을 비교함으로써 그것을 입증합니다. 거친 투과는 몇 가지 흥미로운 결과( 에를 들면, 그림 2 를 참조 )를 보여줍니다, such as the strong shift in the peak away from the smooth refraction direction towards grazing angles ( 거친 반사에서 off-specular peaks 와 유사합니다 ). 그리고 이 미세면 모델은 그러한 효과들을 성공적으로 예측할 수 있습니다. 우리는 우리가 GGX 라 부르는 새로운 미세면 분산 함수를 소개하기도 하는데, 그것은 표준 Beckmann 분산 함수보다는 우리의 일부 서피스와 더 가까운 결과를 제공합니다.

그림 2: ( 가루유리 같은) 거친 서피스에 대해서 0, 30, 60, 80 도의 입사각에 대해 측정된 투과 ( f_t(i,o,n)|o·n| ).

다음으로 우리는 섹션 3 에서 관련 연구들과 일반화된 미세면 이론들에 대해서 논의할 것입니다. 미세면 ( 부드러운 ) 반사와 굴절에 대한 근사 식들을 섹션 4 에서 소개할 것입니다. 그리고 나서 섹션 5 에서 거친 서피스 반사 모델과 굴절 모델을 제공하고 미세면 분산 함수 및 관련 함수들에 대한 선택에 대해 논의할 것입니다. 섹션 6 에서는 우리의 측정 장치들에 대해서 설명하고 우리의 측정값을 미세면 모델의 값과 비교할 것입니다. 부록 A 에서는 임의의 미세면 분산 함수들에 대한 Smith 의 그림자-마스킹 근사식을 리뷰할 것입니다.

2. Previous Work

미세면 모델은 거친 서피스로부터의 빛 반사를 모델링하기 위해 Cook 과 Torrance [CT82] 에 의해 소개되었으며, 이는 광학 분야의 이전 작업들에 기반합니다[TS67]. 많은 변종들이 제안되었습니다( 예를 들어 [vSK98, KSK01, PK02] ). 미세면 모델들은 그래픽스에서 광범위하게 사용되며, 실제 서피스들을 모델링하는데 있어 효과적임이 증명되었습니다 [NDM05].

Ward [Lar92] 는 Cook-Torrance 모델을 단순화시킨 버전을 소개했는데, 비등방성 재질로부터의 반사를 위해 그것을 확장했습니다. 그는 그의 모델을 샘플링하기 위한 기법을 소개하기도 했는데, Beckmann 분선이 일반적이기는 하지만 정확한 샘플링 가중치를 살펴 보고 싶다면 [Wal05] 를 참조하시기 바랍니다. Lawrence 등은 [LRR04] 에서 fitted separable approximations 를 사용하는 대안적인 샘플링 기법을 제안했습니다.

Schlick [Sch94] 는 프레넬( Fresnel ) 공식에 대한 근사식을 포함하는 Cook-Torrance 모델보다 더 뾰족한 근사식을 생성하기 위해 합리적인 근사식을 사용했습니다.

Ashikhmin 과 Shirley [AS00] 는 정확한 중요도 샘플링을 포함하는 Phong 미세면 분산을 사용하는 비등방성 반사 모델을 소개했습니다. [APS00] 은 임의의 미세면 분산으로부터 에너지 보존 반사 모델을 생성했습니다. 하지만 이 공식은 closed form solutions( 역주 : 이미 확립된 해법을 이용해서 해석적으로 정확한 해를 구하는 방식. 구체적인 공식이나 함수를 제공할 수 있어야 만 함. closed form solution = analytic solution ) 없이 수학적으로 평가한 적분을 포함하고 있습니다.

우리의 연구것과 가장 유사한 것은 Stam [Sta01] 입니다. 그는 굴절에 대한 미세면 모델을 피부의 반사도를 위해 레이어화 된 모델의 일부로서 유도했으며, 굴절을 위해 함수[야코비] 행렬식( Jacobian )을 유도했습니다. 그러나 이전의 작업과는 다르게 Stam 은 중요도 샘플링을 제공하지 않았고 실증 데이터에 대한 검증을 수행하지 않았습니다. 또한 그림자-마스크 항을 빼먹었으며 비표준 Beckmann 분산의 변종을 사용했습니다.

그림자-마스킹 항을 위한 많은 근사식들이 제시되었습니다( 예를 들어 [TS67, San69, APS00] ). 우리는 Smith [Smi67] 에서 가져온 근사식을 사용하는데, 그것은 원래 가우시안 서피스를 위해서 유도되었으며, 나중에 임의의 미세면 분산을 위해서 [Bro80, BBS02] 에서 일반화되었습니다.

반사 모델에 기반한 파동 광학( wave optics )이 제안되었는데( 예를 들어 [HTSG91]), 그것은 미세면 모델보다는 더 광범위한 범위의 서피스들을 시뮬레이션할 수 있지만, 계산비용이 너무 비싸며 괜찮은 중요도 샘플링 함수를 가지고 있지 않습니다.

다양한 거친 서피스 모델들을 위한 투과에 대한 수치 시뮬레이션( numerical simulations )들도 수행되었고 측정된 결과들과 비교되었습니다 [RE75, Ger03, SN91, NSSD90].

표기. 이 연구에서 우리는 단위 벡터와 방향을 표현하기 위해서 굵은 소문자( 예를 들어 i or v ) 를 사용합니다. 차이를 명확하게 하기 위해 정규화되지 않은 벡터들은 화살표와 함께 작성될 것입니다( 예를 들어  ). 우리는 구형 극 좌표계를 사용하는 방향을 기술할 것입니다( 예를 들어 v = (θ_v,φ_v) ). 극 각도 θ 는 항상 ( 역주 : 뷰나 빛의 ) 방향과 미세면 노멀 n( 이는 우리가 논의하는 등방성의 경우에 임의로 선택될 수 있음 ) 과의 각도입니다. 반면에 방위각( azimuthal angle ) φ 는 n 과 수직하는 canonical direction 과의 각도입니다. Although we describe the BSDF in terms of radiance( i.e. light flow ), the equations are identical when handling its dual, importance( i.e. tracing from cameras [Vea96] ).

그림 3: 심볼 테이블.

3. Microfacet Theory

BSDF( Bidireictional Scattering Distribution Function ) 는 서피스에서 빛이 산란하는 방식을 기술합니다. 그것은 i 방향으로 입사한 복사조도( irradiance ) 당 o 방향으로 발생한 산란된 복사휘도( radiance )의 비율로 정의됩니다. 우리는 그것을 함수 f_s(i,o,n) 으로 표기하며 로컬 서피스 노멀 n 상에서 그것의 의존성이 두드러집니다. 만약 그것이 반사나 굴절로만 제한된다면, 보통 BRDF 나 BTDF 라 불리는데, 우리 BSDF 는 BRDF f_r 항과 BTDF f_t 항의 합입니다. Since we want to include both reflection and transmission, we will care that our derivations and equations can correctly handle directions on either side of the surface.

미세면 모델에서 세부적인 마이크로서피스( microsurface, 미세 서피스 ) 는 수정된 산란 함수( BSDF )를 사용해 단순화된 매크로서피스( mcrosurface, 거대 서피스 )로 대체됩니다 ( 그림 4 참조 ). 그 함수는 통합된 마이크로서피스의 지향성 산란( directional scattering )과 일치합니다( 예를 둘 다 멀리서 보면 같은 결과로 보입니다 ). 이는 마이크로서피스의 세부사항이 직접적으로 관찰하기에는 너무 작아서 먼 곳에서 보는 지향성 산란 패턴만이 일치한다고 가정합니다. 일반적으로 기하학적 광학( geometric optics )이라 가정되며, 문제를 단순하게 하기 위해서 단일 산란( single scattering )만이 모델링됩니다. 표면을 두 번( 이상 ) 때리는 파동 효과와 빛은 무시되며, 개별적으로 다뤄져야만 합니다.

그림 4: 마이크로서피스 대 매크로서피스.

특별한 마이크로서피스 설정을 가지고 연구를 하기보다는, 미세면( microfacet ) 분산 함수 D 와 그림자-마스킹 함수 G 에 대한 통계적 측정값과 미세 서피스 BSDF  를 사용해 마이크로서피스를 적절히 기술할 수 있다고 가정합니다.

3.1. Microfacet Distribution Function, D

미세면 노멀 분산 D(m)은 마이크로서피스 상의 서피스 노멀 m 들에 대한 통계적인 분산을 기술합니다. m 을 중심으로 한 극소 입체각( infinitesimal solid angle ) dω_m 과 극소 매크로서피스 면적 dA 가 주어지면, D(m)dω_mdA 는 지정된 입체각의 내부에 존재하는 노멀을 가진 마이크로서피스의 전체 면적을 의미합니다. 그러므로 D 는 1/스테라디안 단위의 밀도 함수입니다. 이치에 맞는 미세면 분산은 적어도 다음과 같은 속성들을 가져야 합니다:

• 미세면 분산은 양수 값이어야 합니다:

• 전체 마이크로서피스 면적은 적어도 그것과 연관된 매크로 서피스의 면적보다는 커야 합니다:

• 마이크로서피스의 ( 부호있는 ) 사영된 면적은 모든 방향 v 에 대한 매크로서피스의 사영된 면적과 같아야만 합니다:

그리고 v = n 인 특별한 경우에 대해서는

각 미세면 분산들을 위한 공식들에 대해서는 섹션 5.2 에서 논의합니다.

3.2. Shadowing-Masking Function, G

그림 5: 그림자-마스킹 기하학: 같은 마이크로서피스 노멀 m 을 사용하는 세 지점.

두 개는 i 와 o 방향에서 보이며, 한개는 ( i 방향에서 ) 차폐됨.

관례상, 우리는 항상 서피스로부터 멀리 떨어진 것을 가리키는 방향들을 사용함

( 역주 : 방향이 표면에 들어 가는 방향이 아니라 표면으로 부터 나오는 방향임을 의미 ).

양방향 그림자-마스킹 함수 G(i,o,m) 은 노멀 m 을 가지는 마이크로서피스가 i 방향과 o 방향에서 얼마만큼 많이 보이는지를 기술합니다( 그림 5 참조 ). 일반적으로 그림자-마스킹 함수는 지표각이나 매우 거친 서피스를 제외하고는 BSDF 의 모양을 결정하는 데 있어서 적은 영향만을 끼치지만, 에너지 보존 법칙을 지킬 필요가 있습니다. 이치에 맞는 그림자-마스킹 함수를 만들려면 다음과 같은 속성들을 가져야 합니다:

• 그림자-마스킹은 0 에서 1 까지의 값입니다:

• 두 visibility direction 에 대해서 대칭적입니다:

• 마이크로서피스의 뒤쪽 면은 결코 매크로서피스의 앞쪽에 있는 방향으로부터 가시적이지 않으며, 다른 경우에도 마찬가지입니다( sidedness agreement ):

그림자-마스킹 함수는 마이크로서피스의 세부사항에 의존하며, 정확한 공식을 만드는 것이 거의 불가능합니다. 더 일반적으로는 다양한 통계적 모델과 단순화된 가설을 사용해서 근사식들이 유도됩니다. 더 많은 논의를 원한다면 섹션 5 와 부록 A 를 참조하세요.

3.3 Macrosurface BSDF Integral

매크로서피스 BSDF 는 마이크로서피스에 대한 통합된 방향성 ( 단일 ) 산란 행동에 맞추기 위해서 설계됩니다. 우리는 마이크로서피스에서 볼 수 있을 만한 모든 부분들에 대한 기여도를 적분( 혹은 합산 )함으로써 이를 계산할 수 있는데, 각각은 부분들은 마이크로서피스 BSDF 인  과 연관된 빛을 스캐터링합니다. D 와 G 의 곱은 마이크로 노멀이 m 인 마이크로서피스에 상응하는 가시 면적을 제공합니다. 또한 우리는 마이크로서피스 상의 첫 번째로 전송된 입사 복사조도에 대해 교정 팩터를 적용한 후에 산란된 복사휘도를 다시 매크로서피스로 재전송할 필요가 있습니다. 왜냐하면 복사조도와 복사후도는 서피스가 사영된 면적에 대해서 상대적으로 계측되기 때문입니다. 매크로서피스 BSDF 에 대한 적분 결과는 다음과 같습니다:

이 적분을 적용하기 위해, 우리는 D, G,  을 위한 공식을 필요로 합니다. 마이크로서피스는 지역적으로 부드럽다고 가정하면,   은 이상적인 ( 거울면 ) 반사와 이상적인 ( Snell's law ) 굴절을 위한 항들의 합이며, Fresnel 항 F 에 의해서 기술되는 상대적인 세기를 가집니다.  을 위한 적절한 공식은 다음 섹션에서 유도될 것입니다.

4. Microsurface Specular BSDFs

모든 BSDF 는 마이크로서피스 BSDF 를 위해서 사용될 수 있습니다. 하지만 대부분의 미세면 모델들은 이상적인 거울면 반사를 가정하는데, 여기에서 마이크로서피스는 작고 평평한 거울들( 즉 미세면 )의 집합처럼 동작합니다. 이 연구에서 우리는 이상적인 반사와 이상적인 굴절을 모두 포함시키고 있습니다.

일반적인 스펙큘러 BSDF 는 i 방향으로부터의 입사 에너지인 ρ 를 단일 스펙큘러 방향 s 로 산란시킵니다( 여기에서 ρ 와 s 는 i 와 로컬 서피스 노멀에 대한 함수입니다. 역주: 원문 내용이 이상함. s 는 방향이라고 했는데 ㅡㅡ;; ). 우리는 다음과 같은 스펙큘러 BSDF 공식을 작성할 수 있습니다:

여기에서 δ_ωo(s,o) 는 디랙 델타 함수( Dirac delta function )이며, 그것의 값은 s = o 일 때 무한대이고 그렇지 않을 때 0 입니다. 수학적으로 볼 때 델타 함수들은 함수가 아니라 꽤 일반화된 함수입니다. 그것들은 항상 관련 척도를 가지며( e.g., δ_ωo 는 o 에 대한 입체각 척도입니다 ), 이 척도에 대한 관점에서 적분에 의해 정의됩니다: 주어진 어떤 함수 g() 에 대해,

식 8 에 있는 그런 BSDF 를 사용하기 위해서, 우리는 그것을 마이크로서피스 노멀들과 그것들과 관련된 입체각 척도의 항으로 표현할 필요가 있습니다. 어떤 입사방향과 반사방향이 주어졌다고 가정해 봅시다. 거기에는 에너지를 i 에서 o 로 산란시키는 마이크로서피스 노멀이 적어도 하나는 존재할 것이고, 우리는 그 노멀을 하프 디렉션이라 불리는 h(i,o)로 계산할 것입니다. 그리고 나서 우리는 BSDF 를 h 와 m 사이의 델타 함수의 항으로 재작성할 수 있습니다. 그러나 델타 함수는 적분의 관점에서 정의되기 때문에, 그것의 관련 척도를 변경하는 것은 적분 값을 보전하기 위한 적절한 교정 팩터를 요구합니다. Change of values theorem 을 사용하면, 식 9 는 다음과 동일해 집니다.

여기에서 는 ( 입체각 측정값을 사용해 ) h 와 o 사이의 변환을 위한 야코비안 행렬( Jacobian matrix ) 를 결정하는 절대값입니다( 역주 : 6 자 뒤집어 놓은 것처럼 생긴 ∂ 기호는 편미분 기호입니다 ). 단순함을 위해 보통 야코비안이라 부릅니다.

이 야코비안은 두 공간에서의 작은 변화량( perturbation )들 사이의 크기 관계( magnitude relationship )를 기술합니다. 우리는 o 에 대한 입체각 내의 작은 변화량을 생성하고 h 에서 유도된 입체각 변화량을 찾아냄으로써 그것을 계산할 수 있습니다. o 에서의 변화량을 dω_o 라고 표기할 것이고 h 에서의 변화량을 dω_h 라고 표기할 것입니다. 야코비안은 다음과 같이 정의됩니다: 극소( infinitesimal ) 변화량에 대한 극한에서 

단위 구 상의 면적과 직접적으로 연관된 입체각과 그런 극소 면적들은 근사적으로는 평평하다고 취급될 수 있습니다. 이는 우리가 그림 6 과 7 에서 반사 및 굴절에 대한 야코비안들을 기하학적으로 계산할 수 있게 해 줍니다. 우리는 o 주변의 극소 입체각 변화량 dω_o 를 생성하는데, 그것은 o 를 기반으로 하는 단위 구 상의 극소 면적과 동일합니다. 그리고 나서 이 면적으로 h 를 기반으로 하는 단위 구 상에 사영하는데, 그것은 h 에 대한 유도된 극소 입체각 변화량 dω_h 와 동일합니다. 그리고 이 극소 입체각들 사이의 비율은 야코비안과 같습니다. 이 야코비안들은 [Sta01] 에서처럼 h 와 o 와 관련된 공식들로부터 대수적으로 계산될 수 있습니다.

그림 6:  하프 벡터  와 정규화된 하프 디렉션  을 사용하는 이상적인 반사를 위한 기하. 야코비안을 계산하기 위해서, 우리는 정규화된 하프 벡터에서 극소 입체각 변화량 dω_h 를 계산하는데, 이는 o 에서의 극소 입체각 변화량 dω_o 에 의해서 유도됩니다. 입체각은 그것과 연관된 단위 구들 상의 면적에 직접적으로 비례합니다. Only the 2D incidence plane slice through the full 3D space is shown.

그림 7: 하프 벡터  와 정규화된 하프 디렉션  를 사용하는 이상적인 굴절을 위한 기하. o 에서의 극소 입체각 변화량 dω_o 를 취하고 에서의 변화량에 사영하고 나서,  를 위한 단위 구 상에 사영함으로써 야코비안을 계산합니다. Only the 2D incidence plane slice through the full 3D space is shown.

4.1. , Ideal Reflection

이상적인 반사를 위해, 우리는 하프 디렉션을  로 정규화되지 않은 하프 벡터를  로 표기합니다( 우리는 투과의

경우를 위해서는 를 사용할 것입니다 ). 우리는 을 위한 표준 공식을 사용하는데, ( i·n )의 부호를 곱해 준다는 것만 다릅니다( 역주 : 결국 항상 양수값이 나온다는 의미 ). 그래서 우리의 공식은 서피스의 양 측면( 즉 앞이나 뒤 )에 대해서 동작하게 될 것입니다. 반사 하프 디렉션은 i 와 o 의 중간에 위치하며, 그것과 그것의 야코비안은 다음과 같습니다:

야코비안에 대한 기하학적 유도는 그림 6 에 설명되어 있습니다. 우리는  이고  이라는 것을 이용하기도 했습니다. i = -o 일 때는 하프 디렉션이 정의되지 않는데요, 이것은 결코 유효한 반사 구성이 될 수 없습니다. 반사의 경우 우리는 ρ 를 프레넬 팩터 F 와 동일하게 설정합니다( 5.1 섹션 참조 ). 식 11 을 사용하면, 반사 마이크로서피스 BRDF 는 다음과 같습니다: 서피스의 양 측면으로부터의 반사를 위해 

야코비안 항 때문에  은 이 감소할 수록 증가하며, 이것이 미세면 모델들에서 예측되고 실제 서피스들에서 관찰되는 off-specular 반사 피크의 중요 원인입니다.

4.2. , Ideal Refraction

투과의 경우 우리는 서피스의 양 측면에서의 굴절률을 필요로 합니다. 서피스의 입사 면과 투과되는 면의 굴절률들을 각각  ( 역주: eta 라 읽음 )와  라고 표기하도록 하겠습니다. 이상적인 굴절은 입사 방향 i 와 관련한 굴절 방향 o 를 찾기 위해서 Snell 의 법칙을 따르게 됩니다. Snell 의 법칙은 하프 디렉션 를 사용해서 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

m 에 수직인 i 와 o 성분들의 크기는 그것들과 m 사이의 각도에 대한 sin 값과 같습니다. Snell 의 법칙에 의한 굴절 방향의 경우, 이 성분들은  에서 정확히 취소되며, 결과 방향은 m 과 colinear( 역주 : 같은 라인상에 존재한다는 의미 ) 합니다. 만약 우리가 i 와 o 가 서피스의 같은 측면에 존재하는 경우( 역주 : 굴절이 일어나지 않고 반사만 일어나는 경우 )를 배제하면, i 와 o 가 서피스 노멀로 m 을 사용할 때의 굴절을 위해서 Snell 의 법칙을 따르는 경우에만 이 될 것입니다. 에는 음수가 존재하는데, 이는 우리가 서피스 노멀이 낮은 굴절률을 가진 매질쪽( 예를 들어 공기 )을 가리킨다는 관례를 따르고 있기 때문입니다. 우리는 서피스의 두 측면이 서로 다른 굴절률을 가진다고 가정합니다; 그렇지 않으면  가 불분명해질 것입니다. 이것과 관련한 야코비안은 다음과 같습니다( 그림 7 참조 ):

우리는 인터페이스에서 흡수되는 빛은 없다고 가정하기 때문에 굴절을 위한 ρ 는 1 에서 프레넬 팩터 F 를 뺀 것입니다. 식 11 을 사용하여, 우리는 마이크로서피스 굴절 BSDF 를 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

이 BTDF 는 reciprocity 를 따르지 않음에 주의하십시오. 대신  입니다. 이는 굴절하는 인터페이스의 잘 알려진 속성입니다. 그리고 만약 원한다면 우리는 radiance( 종종 basic radiance 라 불림 ) 가 아니라 을 트래킹함으로써 reciprocity 를 복구할 수 있습니다. 반사에서처럼, BTDF 는 지표각으로 갈수록 증가하는데, 이는 야코비안 항 때문입니다. 이 항은 굴절 로브에서 반사와 유사한 off-specular 피크를 발생시킵니다.

5. BSDF for Rough Surfaces

식 8 을 사용해 마이크로서피스 BSDF 들을 반사와 굴절을 위해서 사용함으로써, 우리는 이제 매크로서피스 반사와 굴절을 위한 BSDF f_s 를 작성할 수 있습니다. 이는 BRDF 항과 BTDF 항의 합입니다:

반사항은 다음과 같습니다:

이는 우리가 분모에서 π 대신에 4 라는 팩터를 사용했다는 점만 제외하면 Cook-Torrance BSDF 와 정확히 같습니다. 그러나 원래의 논문은 D 를 위한 다른 정규화를 사용했습니다. 좀 더 최근의 다른 논문들은 4 를 사용하는 우리의 논문에 동의합니다( 예를 들어 [Sta01] ).

굴절항은 다음과 같습니다:

We don't get as much nice cancellation of terms in the refraction component, but it is still easily implemented and evaluated. 이는 거친 유전체( dielectric ) 서피스를 통과하는 반사 및 굴절에 대한 미세면 모델에 대한 기본 BSDF 공식을 완성시킵니다.

5.1. Choosing F, D, and G

식 20 과 21 을 사용하는 것은 F, D, G 항들에 대한 적절한 선택들을 요구합니다. 프레넬 항은 가장 이해하기 쉽습니다. 그리고 정확한 공식을 문헌에서 찾아 볼 수 있습니다. 일반적으로 프레넬 항은 수직 입사시에 작으며( 예를 들어  인 유리를 위해서는 0.04 ), 지표각이나 완전 내부 반사에서는 unity 로 증가합니다. unpolarized( 편극 안 된, 여러 유형으로 진동하는 ) light 를 가진 유전체를 위한 정확하고 편리한 공식은 다음과 같습니다 [CT82]:

만약 g 가 허수( imaginary )라면, 이는 전체 내부 반사를 가리키며 이 경우 F = 1 입니다. F 를 위한 더 값싼 근사식들이 종종 사용되기도 합니다 [CT82, Sch94].

여러 가지 미세면 분산 함수 D 들이 제안되어 왔습니다. 이 논문에서, 우리는 세 가지 유형에 대해서 다룹니다: Beckmann, Phong, GGX. Beckmann 분산은 마이크로서피스에 대한 Gaussian roughness assumption 으로부터 만들어졌으며, 광학 문헌들에서 광범위하게 사용됩니다. Phong 분산은 그래픽스 문헌에서 개발된 순수하게 실증적인 것입니다; 그러나 width 파라미터들을 적절히 선택하면, 그것은 Beckmann 분산과 거의 비슷합니다. GGX 분산은 새로운 것이며, 우리는 투과를 위해 측정된 데이터들과 그것을 더 잘 일치시킬 수 있게 하기 위해서 개발했습니다. 세 분산 유형들을 위한 공식들과 관련 함수들은 이 섹션의 끝 부분에 나옵니다.

그림자-마스킹( shadowing-masking ) 항 G 는 분산 함수 D 와 마이크로서피스의 세부사항에 의존합니다. 그래서 정확한 솔루션을 찾는다는 것이 거의 불가능합니다. Cook 과 Torrance 는 모든 분산 D 를 위해 에너지 보존을 보장하는 평행 그루브( parallel grooves ) 에 대한 1D 모델에 기반하는 G 를 사용했습니다. 그러나 우리는 그것을 사용하는 것을 추천하지 않습니다. 왜냐하면 그것은 1차 미분 불연속성을 가지고 있으며 다른 특징들도 실제 서피스에서는 보이지 않는 것들이기 때문입니다. 대신에, 우리는 Smith 그림자-마스킹 근사식 [Smi67] 을 사용할 것입니다. Smith G 는 원래 Gaussian rough surface 로부터 유도되었지만, 임의의 분산 함수들 [Bro80, BBS02] 를 가진 서피스들을 다루기 위해서 확장되어 왔습니다. 비록 몇몇 사례들에서( 예를 들어 Phong ) 결과 적분들이 단순한 closed form solution( 역주 : analytic solution ) 을 가지고 있지 않긴 하지만 말입니다.

Smith G 는 두 개의 한 방향의( monodirectional ) 그림자 항 G1 들에 대한 개별 곱으로서 양방향 그림자-마스킹을 근사계산합니다:

여기에서 G₁ 은 [Smi67, Bro80, BBS02] 와 부록 A 에서 기술된 것처럼 미세면 분산 D 로부터 유도됩니다. Smith 는 실제로 두 개의 다른 그림자 함수들입니다: 하나는 마이크로서피스 노멀 m 이 알려졌을 때 하나, 모든 마이크로서피스 노말들에 대한 평균냈을 때 다른 하나. 비록 후자가 문헌들( 예를 들어 [HTSG91] )에서 더 자주 사용되기는 하지만, 마이크로서피스 노멀이 알려진 미세면 모델에서는 전자가 더 적합하며 우리는 이 논문에서 그것을 사용합니다.

5.2. Specific Distributions and Related Functions

그림 8: 왼쪽: Beckmann (red), Phong (blue), GGX(green) 분산 함수 D(m) 들. 각각은 α_b = 0.2, α_p = 48, α_g = 0.2 를 사용합니다. Beckmann 과 Phong 은 GGX 가 더 좁은 피크와 더 강한 테일을 가지는 것에 비하면 거의 비슷합니다. 오른쪽: Beckmann, Phong, GGX 를 위한 Smith 그림자-마스킹 항 G₁(v,n) 들. G₁ 은 지표각에서를 제외하고는 거의 1 입니다. 그리고 GGX 는 더 강한 테일을 가지고 있기 때문에 좀 더 많은 그림자를 가지게 됩니다.

아래에서 우리는 Beckmann, Phong, GGX 분산 D 를 위한 식을 제공합니다( 그림 8 참조 ). 그리고 그것들과 관련한 Smith 그림자 함수 G₁ 을 제공합니다. 또한 [0, 1) 범위에 있는 두개의 유니폼 랜덤 변수들인 ξ₁ ( 역주 ksi 라 읽음. 크시 )과 ξ₂ 로부터 마이크로서피스 노멀들을 생성하기 위한 샘플링 공식들을 제공합니다. 주어진 샘플링 공식을 사용하여 어떤 m 을 생성하는 것에 대한 확률( probability )는 다음과 같습니다:

θ_m 은 m 과 n 사이의 각도이며, θ_v 는 v 와 n 사이의 각도이고, χ⁺(a) ( 역주: chi 라 읽음. 키 )는 양의 특성( positive characteristic ) 함수( a > 0 이면 1 이고 a <= 0 이면 0 )입니다. 이것들은 모두 하이트필드( heightfield ) 분산들입니다( 즉 m·n <= 0 이면 D(m) = 0 ). 그리고 그것들에 대한 비등방성 변종들이 존재하지만 여기에서는 논의하지 않을 것입니다.

width 파라미터 α_b 를 사용하는 Beckmann Distribution:

G₁ 공식에서 첫 번째 팩터는 sideness agreement 를 포함합니다( 즉 v 는 반드시 매크로서피스나 마이크로서피스에 대해 같은 측면에 존재해야만 합니다 ). 그것은 에러 함수  를 포함하고 있기 때문에, 이 공식은 평가하기에 너무 비쌀 수 있습니다. Shclick [Sch94] 은 더 싼 비례 근사식( rational approximation, 유리 근사식 )을 사용할 것을 제안했지만, 그것은 서로 다른 그림자-마스킹 공식에 기반했습니다. 대신에, 우리는 Smith G₁ 공식에 대한 다음의 비례 근사식을 제안하는데 0.35% 보다는 작은 상대적 에러를 사용합니다.

샘플링 에 대한 공식은 다음과 같습니다:

width 파라미터 α_g 를 사용하는 GGX Distribution:

GGX 분산은 Beckmann 분산과 Phong 분산보다는 더 강한 테일( tail )들을 가집니다. 즉 더 많은 그림자를 가지는 경향이 있습니다. 샘플링 을 위한 공식은 다음과 같습니다:

5.3. Sampling and Weights

BSDF 를 샘플링하기 위해서, 우리는 방향 i 를 가지고 있으며 산란된 방향 o 를 f_s(i,o,n)|o·n| 과 거의 일치하는 패턴으로 생성하기를 원한다고 가정합니다. 일반적으로 미세면 BSDF 는 정확하게 샘플링될 수 없습니다. 우리의 접근법은 먼저 마이크로서피스 노멀 m 을 샘플링하고 나서 그것을 사용해서 산란된 방향 o 를 생성할 것입니다. 관련 샘플들에 대한 가중치를 계산하기 위해, 우리는 샘플 방향들에 대한 확률 밀도 p_o 를 계산할 필요가 있습니다. 결과 가중치는 다음과 같을 것입니다:

여기에서 우리는 결과 가중치에서의 변화를 최소화하기 위한 샘플링을 선택하기 원합니다.

만약 산란된 방향 o 를 생성하기 위해서 확률 p_m 으로 미세면 노멀 m 을 선택하고 하프-디렉션 공식( 즉 식 13 이나 16 )을 역으로 계산한다면( invert ), 최종 확률은 하프-디렉션 트랜스폼( transform )의 야코비안을 포함하게 될 것입니다( 예를 들어 [Wal05] 를 참조 ):

5.2 섹션으로부터의 샘플링 공식들을 사용하면, 우리는 과 관련된 샘플링된 미세면 노멀들 m 을 생성할 수 있습니다. 그리고 나서 우리는 프레넬 항 F(i,m) 을 평가하고, 반사인지 굴절인지를 선택하기 위해서 그것을 사용할 수 있습니다. 즉 프레넬 항을 확률로 끌고 들어 오는 것입니다. 반사의 경우, 산란 방향 o_r 은 다음과 같습니다:

그리고 투과의 경우, 산란된 방향 o_t 는 다음과 같습니다:

그리고 다른 경우에는 산란된 방향에 대한 결과 가중치가 다음과 같습니다:

수직 입사시 ( 즉  ), 이는 거의 완벽한 샘플링이 됩니다. 지표각에서, 그것은 여전히 좋은 샘플링이지만 D 와 G 를 어떤 것을 선택했느냐와 파라미터의 값에 따라 수백배까지 높은 샘플 가중치가 생성될 수도 있습니다. 그러한 높은 가중치들이 나올거 같지 않지만( f_s 가 매우 작은 곳의 지표각에서의 retroreflection 을 위해서는 최악임 ), 그것들은 그러한 높은 가중치가 결코 발생하지 말아야 한다는 가정을 가진 기법들에서 문제가 됩니다( 예를 들어 대부분의 파티클 트레이싱 기법들 ). 우리는 샘플링 분산을 약간 수정함으로써 최대 가중치를 훌륭하게 줄일 수 있습니다. 예를 들어 Beckmann 분산을 사용할 때, 우리는  에 의해 주어진 약간 넓어진 분산을 대신 샘플링할 수 있습니다. 이는 최대 샘플링 가중치를 대충 4 배 정도 확 줄여줍니다.

6. Measurements

그림 9: 측정 설정: 우리는 우리 샘플들의 뒤쪽에 유리 반구를 둘렀습니다. 

이는 지표각에서도 투과를 관찰할 수 있게 해 줍니다.

( 역주 : 이 섹션은 측정 방법론 및 대상에 대한 내용이 주를 이루고 있고 모르는 개념이 너무 많이 나와서, 귀찮으면 그냥 원문을 그대로 썼습니다 )

우리의 산란 모델을 검증하기 위해서, 우리는 다양한 종류의 거친 유리 서피스들을 통과하는 투과를 측정했습니다. 이 측정을 거친 서피스를 가진 유리 그릇에 조명을 비치고 산란된 빛을 측정하는 단순한 방법을 사용할 수는 없습니다. 왜냐하면 빛은 유리 내부에서 직접적으로 관찰되지 않으며, 내부 반사가 상대적으로 지표각에 가까운 방향으로 산란되는 빛을 방해하기 때문입니다. 그래서 측정할 수 있는 곳으로 빛이 도달하지 않습니다. 동시에 내부적으로 반사되는 빛의 대다수는 내부로부터 거친 스피스를 향한 조명으로 다시 작용할 것이며, 이는 경로에서 벗어난 허용할 수 없는 다량의 빛을 생성하게 됩니다.

전송된 빛을 직접적으로 관찰하기 위해서, 우리는 plano-convex lens( 평면 볼록 렌즈 )를 덧붙임으로써 두 번째 인터페이스를 제거했습니다. 이 렌즈는 샘플의 뒤쪽을 향하는 반구에 가깝습니다( 그림 9 ). 이러한 구성은 [NN04] 의 연구에서 영감을 받았습니다. 샘플은 거친 서피스로부터 빛을 받으며, 구형 서피스를 통해 여러 각도로부터 보입니다. 이 때 장치의 회전 중심은 구형 서피스의 중심에 정렬되기 때문에 뷰 방향은 항상 서피스에 대해 수직입니다. 이러한 방식으로, 산란된 빛은 프레넬 반사 때문에 최소한의 손실로 서피스를 떠나게 됩니다. 또한, 상대적으로 적은 빛만이 샘플의 중심 근처의 영역으로 재반사됩니다. 왜냐하면 반구를 떠나는 경로의 반사는 거의 서피스에 수직이기 때문입니다. 이는 평평한 샘플을 사용했을 때와 비교하면 빛이 경로를 벗어나는 문제를 줄여 줍니다.

우리 설정에서, 100 mm 의 정사각형 샘플이 동일한 굴절률을 가진 접착제를 사용해서 75 mm 의 직경과 75 mm 의 초점 거리를 가진 거의 반구모양인 평면 볼록 렌즈에 부착됩니다. 6 mm 의 두께를 가진 샘플의 경우, 렌즈의 구형 서피스의 중심은 거친 서피스 상에 존재합니다. 하지만 우리 샘플들은 다양한 두께로 구성되어 있기 때문에, 이 기법은 반드시 서피스와 중심 간의 몇 mm 정도의 거리를 감수해야만 합니다.

이 샘플은 6 mm 의 원형 광섬유로부터 610 mm 의 거리에서 조명을 받게 됩니다( 조명 입체각: 0.000076 sr ). 그 광원은 DC 정규 섬유 조명이며, 전체 샘플 서피스 상에 안정적이고 떨리지 않는 조명을 제공합니다. 전송된 빛은 냉각한 CCD 카메라에 의해 감지되는데, 이 카메라는 반구형 면으로부터의 샘플을 보게 됩니다. 이 카메라는 885 mm 의 거리에 있는 f/5.6 의 35 mm 촬영 렌즈를 사용합니다( 수신 입체각: 0.000039 sr ). 측정값은 카메라 이비지의 고정된 사각 영역 안의 픽셀 값들을 평균냄으로써 구해지는데, 이 영역은 거의 3mm x 10 mm 까지의 구형 서피스 상의 면적과 관련이 있습니다.

측정된 면적은 이미지 내의 고정된 면적으로 정의되기 때문에, 측정값은 카메라에 의해 관찰된 복사휘도( radiance )에 대한 비율입니다. Since radiance is preserved ( up to a constant factor ) under refraction, this arrangement produces a signal proportional to the BTDF times the cosine of the incident angle. 이 속성을 가지기 위에서는 앞에서 조명을 비추고 뒤에서 보는 것이 중요합니다; if the sample was flood-illuminated from the hemispherical side, the lens would focus the light into a nonuniform distribution of irradiance that would make the system sensitive to exact alignment between the sphere center and the surface.

우리는 거친 서피스를 가진 네 개의 유리 샘플들을 서로 다른 절차를 통해 측정했습니다. One was commercially produced ground glass created by sandblasting soda-lime glass with 120 abrasive ( ground, 1/16 inch thickness ). One sample was prepared in our lab by acid-etching one side of a plate of soda-lime glass ( etched, 3/16 inch thickness ). The last two are less well characterized: commercially available frosted flass ( frosted, 1/8 inch thickness ) and commercially available antiglare glass for picture framing ( antiglare, 1/16 inch thickness ). All samples had flat polished surfaces on the reverse side except the antiglare glass, which was rough on both sides; we assume that the adhesive fills in the surface so that the extra rough interface is not relevent( and in fact, there is no visible evidence of an air layer ).

측정 결과는 모두 산란된 로브의 피크가 기대했던 굴절 방향과 벗어나는 것을 보여 주었습니다. antiglare glass 에서처럼 러프니스가 낮아지면, 그 피크는 이상적인 반사 각에 가깝지만, 더 거친 샘플들의 경우에는 지표각으로 갈수록 많이 벗어나게 됩니다.

이러한 이유로 이 거친 서피스 BTDF 들의 많은 특징들은 평평한 그릇에서 직접적으로 관찰하기 어렵습니다. 다음에 보여 주듯이, 우리의 미세면 모델들은 이런 행동들을 잘 예측합니다.

6.1. Sample Results

그림 10: 가루( ground ) 유리 샘플. 

위쪽은 BTDF fit 이며 아래쪽은 실증적인 미세면 분산 D 에 대한 fit 임.

Red 라인은 Beckmann 이고 green 라인은 GGX 임.

그림 11: 냉각( frosted ) 유리 샘플. 

위쪽은 BTDF fit 이며 아래쪽은 실증적인 미세면 분산 D 에 대한 fit 임.

Red 라인은 Beckmann fit 이며 green 라인은 GGX fit 임.

네 가지 샘플들 각각에 대해, 우리는 Beckmann 분산과 GGX 분산을 사용해 미세면 BTDF 와 측정된 결과를 맞춰 보았습니다( 그림 12 ). 모든 샘플들에 대해 우리는 굴절률이 1.51 이라 가정했습니다. 이는 우리에게 맞춰야 하는( to fit ) 두 개의 자유 파라미터를 제공합니다: 분산 너비 파라미터( α_b 와 α_g )와 우리 측정값을 절대 스케일로 매핑하기 위한 전체 스케일링 팩터.

그림 12: 네 샘플을 위해 피팅된 계수( coefficient )들. 우리는 수직 입사에 대한 측정 데이터를 우리 BTDF 를 위해 피팅하는데, Beckmann 미세면 분산과 GGX 미세면 분산을 모두 사용함. 각각의 경우 우리는 분산 width 파라미터와 전체 스케일링 팩터를 모두 피팅함( 왜냐하면 우리가 절대적인 측정값보다는 상대적인 측정값을 가지고 있기 때문임 ).

그림 13: 식각( etched ) 유리 샘플. 

위쪽은 BTDF fit 이며 아래쪽은 실증적인 미세면 분산 D 에 대한 fit 임.

 Red 라인은 Beckmann fit 이며 green 라인은 GGX fit 임.

그림 14: 눈부심방지( antiglare ) 유리 샘플.

위쪽은 BTDF fit 이며 아래쪽은 실증적 미세면 분산 D 에 대한 fit 임.

Red 라인은 Beckmann fit 이며 green 라인은 GGX fit 임.

우리 BTDF 모델을 테스트하기 위해, 각 샘플들을 위한 두 개의 그래프를 보여 줍니다. 첫 번째는 투과되는 각 θ_o 에 대한 함수인 f_t(i,o,n)|o·n| 을 보여 줍니다. 우리는 수직 입사의 경우( θ_i = 0 )도 보여 주는데, 여기에서 우리는 피팅( fitting )을 수행했으며, 세 개의 부가적인 입사각( θ_i = 30, 60, 80° )을 사용해서 이러한 각들을 추정하기 위해 모델의 기능을 테스트했습니다.

두 번째 그래프는 데이터로부터 미세면 분산 함수 D 의 점들을 직접적으로 추정합니다. G 항은 지표각에서만을 제외하고는 1 이기 때문에, 우리가 지표각에서 먼 데이터 점들만을 사용하고( 즉 |i·n| > 0.5 이고 |o·n| > 0.5 ) 이 점들에 대해 G(i,o,m) = 1 이라 가정하면, 우리는 그와 관련한 D(h_t) 의 값들에 대한 식 21 을 풀 수 있습니다. 또한 매우 낮은 측정값을 가진 점들을 배제할 수 있습니다. 왜냐하면 이 값들은 경로를 벗어난 빛에 의해 쉽게 영향을 받기 때문입니다. 만약 데이터가 미세면 모델과 어울린다면, 이 점들은 서피스의 미세면 분산 함수인 커브와 가까운 곳에 위치할 것입니다. 두 그래프에서 상대적인 측정 데이터와의 비교를 가능하게 하기 위해서 적당한 스케일링 팩터에 의해 모델들이 스케일링되어 있다는 점에 주의하시기 바랍니다.

가루 유리 샘플에 맞는 데이터와 모델은 그림 10 에 나와 있습니다. 우리는 GGX 분산이 그 데이터에 훌륭하게 어울리며 그것이 Beckmann fit 보다 더 낫다는 것을 알 수 있습니다. 유일하고 중대한 차이는 지표각 근처에서 발생하는데, 여기에서 기하 광학의 미세면 가설과 단일 스캐터링이 덜 유효해집니다. Beckmann 분산이 아래쪽 그래프에서 보이듯이 기준( inferred ) 미세면 분산과 일치하지 않는다는 것을 발견했습니다. 그래서 우리는 특별히 GGX 분산을 개발했습니다.

냉각 유리와 식각 유리를 위한 그래프는 그림 11 과 13 에 있습니다. 두 샘플들의 경우에, Beckmann 과 GGX 는 모두 측정된 투과 패턴과 일치하는 타당한 작업을 수행했지만, 아래쪽 그래프에서 보이듯이 실증적인 미세면 분산 함수들과는 일치하는 모델은 없었습니다. 아마도 우리는 Beckmann 과 GGX 사이의 어딘가에 있는 것처럼 행동하는 분산 함수를 찾아야 할 필요가 있을 것 같습니다.

눈부심방지 유리는 다른 샘플들보다는 훨씬 더 낮은 서피스 러프니스를 가지고 있습니다. 그러므로 그림 14 에서 볼 수 있듯이 훨씬 좁은 로브를 가집니다. 그것이 너무 좁기 때문에, 우리는 상대적으로 로브 내에서 적은 샘플들만을 획득하게 되며, 그것의 width 를 추정하는데 더 많은 어려움을 겪습니다. 이 경우에는 Beckmann 과 GGX 가 모두 잘 들어 맞습니다.

우리의 BTDF 모델과 샘플링 기법을 사용해서, 우리는 눈부심방지 유리, 가루 유리, 식각 유리 샘플에 대한 렌더링 시뮬레이션을 했으며 이는 그림 15 에 나와 있습니다. 이 이미지들은 서로 다른 외형을 겹쳐서 보여 주며, 불투명한 패턴 및 디퓨즈 라이트에 대한 기능들을 잘 보여 줍니다. 패턴을 가진 식각 유리 글로브를 위한 시뮬레이션은 그림 1 에 나와 있습니다.

그림 15: 거칠게 만든 사각형의 서피스를 가진 유리 슬라이드에 대한 시뮬레이션.

 눈부심방지 유리, 가루 유리, 식각 유리를 위해 피팅된 분산들을 사용함.

7. Conclusions

이 논문에서, 우리는 미세면 이론에 대한 포괄적인 리뷰를 제공했으며, 거친 서피스를 가진 투과성 재질들을 다루기 위해서 그것이 어떻게 확장될 수 있는지를 보여 주었습니다. 우리는 최종 BTDF 모델들을 측정 데이터와 비교해서 검증했으며, 그것들이 실제 서피스의 굴절 행위를 예측할 수 있음을 보여 주었습니다. 우리는 새로운 미세면 분산 함수( GGX 분산 )를 개발했고, 적어도 어떤 서피스들에 대해서는 그것이 표준 Beckmann 분산보다는 측정 데이터와 더 가깝게 일치한다는 것을 보여 주었습니다. 또한 미세면 모델을 효율적으로 중요도 샘플링하는 방법에 대해서 보여 주었는데, 그것은 굴절된 빛을 렌더링할 때 필수적입니다. 우리는 이 기법들이 피부, 마블, 페인트와 같은 반투명한 재질을 가진 진보된 모델들을 포함하는 더 광범위한 재질들을 시뮬레이션하는 데 있어서 유용하다는 것을 증명할 수 있습니다.

Acknowledgements

This work was supported by NSF grants ACI-0205438, CNS-0615240, and CAPEER CCF-0347303, an Alfred P. Solan Research Fellowship, and Intel.

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Appendix A: Deriving the Smith Shdowing, G₁

( 역주 : 생략, 원문을 참조하세요 )