[ 생각하며 배우는 대학물리학 ] 연습문제 5-7

주의 : 답이 틀릴 수도 있습니다. 그냥 정리하는 용도로 올립니다. 혹시라도 도움이 필요한 분이 있다면 도움이 되었으면 좋겠네요.

주의 : 특별한 경우가 아니라면, 귀찮아서 문제는 안 옮깁니다.

경고 : 숙제하려고 베끼는 데 사용하지 마십시오. 본인의 미래를 망칠 뿐입니다. 나중에 저를 원망하지 마세요.

부탁 : 문제 풀이가 잘못되었으면 지적해 주셨으면 좋겠습니다.

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문제에서는 "위성의 빠르기와 주기 사이에 T² ∝ r³  관계가 있음을 보여라" 인데 문제가 약간 이상합니다. 아마도 주기와 반지름의 관계겠죠. 

일단 익히 알고 있는 식으로부터 시작하겠습니다. 위성의 가속도 a 는 다음과 같습니다. 여기에서 r 을 벡터로 표기하고 있는데요, 이건 지구 중심으로부터 위성까지의 벡터입니다.

식 1.

중력 F ( 중력가속도가 아니라 중력입니다 )는 다음과 같이 정의됩니다. G 는 중력상수, M 은 지구의 질량, m 은 위성의 질량입니다.

식 2.

이 경우에 위성의 가속도를 a 라했을 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.

식 3.

식 1 에서 위성의 가속도를 알고 있기 때문에 식 3 에 대입하면 다음과 같습니다.

식 4.

식 4 를 정리하면 다음과 같습니다.

식 5.

식 5 를 통해 반지름의 세제곱은 주기의 제곱과 비례관계에 있음을 알 수 있습니다.

그런데 실제 케플러 3 법칙을 검색해 보니 비례식의 결론은 유사한데, 정확한 식이 다르게 나오는군요. 아마도 장축과 단축을 고려하지 않은 데서 차이가 발생하지 않나 싶네요...